Catalan number (卡特兰数)

摘自百度百科:

卡特兰数又称卡塔兰数，卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰
(1814–1894)的名字来命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,
16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790,
477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640,
343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

卡特兰数Cn满足以下递推关系[1]
：

在ACM中作为蒟蒻的我碰到了几道关于卡特兰数的题目,所以在此做个小总结.

这是洛谷网的一道关于栈和卡特兰数的题目.

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，从1，2，一直到n（图示为1到3的情况），栈A的深度大于n。

现在可以进行两种操作，

1.将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作）

1. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由1 2 3生成序列2 3 1的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入输出格式

输入格式：

输入文件只含一个整数n（1≤n≤18）

输出格式：

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目

在下左思右想想不出怎么做,百度一下题目看到各种网页标题很多有卡特兰的字样,就恍然大悟,原来这道题是科特兰数!

那么这就好办了,我知道卡特兰数的公式,岂不是分分钟做出这道题?

然而并不是,先前我只知道C2n n+1 的组合公式,并不知道递推公式,所以代码写出来之后,溢出溢出溢出,想了几种方法减少溢出的可能,然而中间数据太大始终溢出,最后不得已看了题解,得知卡特兰数的递推公式.不得不说递推大法好.

反思一下:其实这个公式我知道,但完全没意识到它的用法.没错,就是学了不会用:(为自己默哀0.0001秒

最后的代码很短:

#include <iostream>
using namespace std;

int main( )
{
	int n, f[19]={1,1};
	cin >> n;
	for( int i=2;i<=n;++i ){
		for( int j=0;j<i;++j ){
			f[i] += f[j]*f[i-j-1];
		}
	}
	cout << f[n];
}

卡特兰数还有那些应用呢?

1.括号化 ()() || (()) 这样子滴

2.出栈次序(above)

3.凸多边形三角划分

4.给定结点组成二叉搜索树

5.n对括号正确匹配次数

安慰自己一下:
孩子,做不出题目不是你的错,如果你不知道这个知识点,你还把它做出来,那你就是跟卡特兰一样的大师
了.所以,做题不要死做,该停停,看看别人怎么做的.记住,不管会不会做这道题,看看别人怎么做的.