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Gauss与AGM(IV-1)

Gauss与AGM(IV-1)

[注:题图的含义见本篇后半段。]

1816年4月5日,Gauss的一位密友Heinrich Christian Schumacher从哥本哈根写信给Gauss。在信中,他提到Gauss的一位老乡Carl Ferdinand Degen在哥本哈根大学学习期间,曾经研究过用以下方式定义的数列:

定义:正实数列 \{a_n\},\{b_n\}\,(n=0,1,2,3,\cdots) 定义如下: a_0=a>0,b_0=b>0,a\geq b;
\begin{cases}a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\\b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\end{cases}

显然我们有 b_0\leq b_1\leq\cdots\leq b_n\leq\cdots\leq a_n\leq a_1\leq a_0 ,因此两个数列都存在极限,而且两者的极限是相等的。我们又有 \frac{(a_n-b_n)^2}{8a}\leq a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{(a_n-b_n)^2}{4(a_{n+1}+b_{n+1})}\leq\frac{(a_n-b_n)^2}{8b} 。所以两个数列以平方收敛的速度收敛到这一极限。这一极限我们称之为Gauss的算术几何平均值(arithmetic-geometric mean, arithmetisch-geometrische Mittel, 或简称为AGM),记为 M(a,b)

Schumacher接下去兴奋地写道[我们这里记号稍作变动]:记长短半轴分别为 a_1,b_1 的椭圆在第一象限的弧长为 E(a_1,b_1) ,那么Schumacher本人有

\frac{\pi}{2}\left(\frac{a_1^2}{M(a,b)}-a_1(a-a_1)\frac{\mathfrak{M}(a,b)}{M(a,b)}\right)=E(a_1,b_1) , 其中

\mathfrak{M}(a,b)=\frac{a_0-a_1}{2a_1}+\frac{a_0-a_1}{2a_1}\frac{a_1-a_2}{2a_2}+\frac{a_0-a_1}{2a_1}\frac{a_1-a_2}{2a_2}\frac{a_2-a_3}{2a_3}+\cdots

Schumacher表示自己不敢专美,想借通信的机会让Gauss评论一下。


Gauss的回信并不客气。这封信第二段劈头就是一句:

Haben Sie denn wirklich vergessen, daß das arithmetisch - geometrische Mittel, mit welchem Hr. Degen sich beschäftigt, ganz dasselbe ist, womit ich mich seit 1791 beschäftigt habe und jetzt einen ziemlichen Quartband darüber schreiben könnte? Ich habe zwar außer jenem auch noch andere arithmetisch - geometrische Mittel betrachtet, die aber ganz elementarisch sind.

你是真不记得,Degen先生搞的算术-几何平均值,和我1791年就开始搞的[算术几何平均值]一模一样,而且我就此足足可以写出一本书来?除此之外我还研究了其他的算术几何平均,这些[平均]都相当初等。

14岁的少年Gauss为什么要研究这个数列?用Klein的话说,这只是Gauss自行设计的智力游戏[见Felix Klein《数学在19世纪的发展》,第一章,译文来自齐民友先生的译文,高等教育出版社,2010]:

All diese frühen, nur zu eigner Lust ersonnenen Gedankenspiele sind Ansätze zu dem großen, erst viel später bewußt gewordenen Ziel. Es ist eben die ahnende Weisheit des Genies, selbst bei den halbspielenden Erstlingsproben der Kräfte, ohne Bewußtsein des tieferen Sinnes, die Spitzhacke gerade da ans Gestein zu setzen, wo die Goldmine verborgen liegt.

所有这些童年的智力游戏,原来设计来只是为了自己好玩,却成了通向重大目标的第一步,而这一点他也只是后来才意识到的。能够把锄头一下子就挖在隐藏着金矿的矿脉上,这种善于预见的智慧,正是天才的一部分,而且这种预见又通过半是好玩的最初的试验来表现自己的力量,而它的深刻含义很难被发觉。

Gauss说了他还研究了“其他的算术几何平均值”。他到底为自己还设立了什么样的智力游戏呢?

我们知道,古典时期(特指古希腊时期)最重要的平均值有三种:算术平均 A(a,b)=(a+b)/2 ,几何平均 G(a,b)=\sqrt{ab} 以及调和平均 H(a,b)=2/(1/a+1/b) 。Gauss 1791年的智力游戏相当于“复合”两种平均值,对两个正的实变量(本篇中所有的变量均为正的实数变量)进行迭代[先同时计算函数的值,再赋值给a与b]

\begin{align}a\mapsto A(a,b)\\b\mapsto G(a,b)\end{align}

我们可以把AG组合换成A,G,H中任两种(可以相同)的组合,但本质上不同的组合只有AA,AG,AH三种(为什么?)。AA迭代过程是平凡的,AH等价于

\begin{align}ab&\mapsto ab\\a&\mapsto A(a,b)\end{align}

是求平方根的Newton方法。因此有意思的只有AG组合。

如果我们把这个过程交给计算机,把它写成伪代码的形式,那么下面两种伪代码

\begin{align}a= A(a,b);\\b= G(a,b);\end{align}

或是

\begin{align}b= G(a,b);\\a= A(a,b);\end{align}

都不会收敛到Gauss的算术几何平均值,因为这些指令的执行是有先后顺序的。此时不同的组合可以约化到AA,GA,AG以及AH四种。组合AA以及AH是这四种情形中可以导出数列简单通项的情形。不妨设迭代的初值为 a=1+x,b=1,x>-1 。可以证明,两种迭代过程线性收敛到 1+\frac{x}{3} 以及 \frac{(1+x/2)(1+x/8)(1+x/32)\cdots}{(1+x/4)(1+x/16)(1+x/64)\cdots} 。我们不给出详细过程,具体过程可以在这篇文章中看到。


次简单的情形,也就是组合AG与GA,应该出现在Gauss 1800年给他的老师Johann Friedrich Pfaff的信件中。但很可惜的是Pfaff没有保存Gauss寄来的信件(或者信件因为其他原因已经丢失[例如Kronecker的手稿绝大多数毁于1945年的一场爆炸事故,如果没事先编纂文集的话……]),留存于世的只有Pfaff寄到Gauss处的信件。我们现在知道的是Pfaff 在1800年12月8日与Gauss的通信中讨论过这个问题。组合AG等价于迭代

\begin{cases}a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\\b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n}\end{cases}

如果设 r_{n}=a_n/b_n ,我们很容易看出

r_{n+1}=\sqrt\frac{1+r_n}{2}

所以我们采用三角代换。令 r_n=\cos{\theta_n},0\leq \theta_n\leq\pi/2 ,那么我们可以不太费力地写出通项 a_n 的表达式来,而且通过通项,我们可以知道数列线性收敛到 \frac{a_0\sin\theta_0}{\theta_0\cos\theta_0} 。用三角代换我们可以对情形GA导出类似的结论。这里所有函数都是初等的,所以Gauss的“其他的算术几何平均值”都“相当初等”就可以得到解释。很可惜这些迭代没有一个是平方收敛的。而Gauss的算术几何平均值是平方收敛到极限的,此时用迭代进行数值计算就很划算。


轶事:前面Klein提到的话在数学史学家Kurt Biermann的文章里得到了证实。Biermann的文章(英译见Oscar Sheynin的翻译)提到Gauss在致Franz Xaver von Zach的信中自称lusus ingenii (inborn player)。Biermann提供的材料表示,Gauss过去还是被过度神化了。如果我们有机会接触到他的日记以及其他材料,就会感觉到Gauss本人也是有血有肉的lusus ingenii 。我们就列举Biermann和其他人提供的一些证据:


  1. Gauss 去世150周年(2005年)时哥廷根大学对外公布了Gauss的日记本的所有照片。其中有一页[提供链接的第13页]上左侧是一首法文诗歌,右侧是用Kurrent体写的德文诗歌。同一页上还写着Rousseau这个名字。Biermann的解释是:这可能是Jean-Baptiste Rousseau(法国剧作家,诗人)的作品。但是Biermann的结论是不对的。这首诗歌的作者不是别人,正是大名鼎鼎的Jean-Jacques Rousseau,而Gauss抄写的德文诗歌正是Friedrich Wilhelm Gotter的翻译再创作。这首诗也不单单是Biermann所谓的爱情诗,Rousseau本人是给这首诗谱过曲子的。换言之,Gauss在日记本上抄的是歌词。(题图来自Rousseau遗著Consolations des misères de ma vie,第97页。youtube上是可以找得到这两首歌曲的:youtube.com/watch?youtube.com/watch?)
  2. Gauss在同一页上有一个用花边边框标记的表格。里面写着地名和一大堆数字。按Biermann的解释,这是Gauss 1798年10月从家乡Braunschweig步行去37公里外的Helmstedt的步行记录。从记录看,Gauss从Braunschweig走到Helmstedt走了45053步,用时370分钟[Google地图给出的步行时间是460分钟],不愧是Klein所提及的“健壮有力的下萨克森人”。
  3. 日记本最后一页上有一个表格。每一行大概都是 7336. \,2\, 32 这样的内容。这样的内容在很长时间得不到合适的解释。Biermann给出的解释似乎比较靠谱。解释的关键来自笔记本同一页上的内容: 8113;99.\mathrm{VII}.16. D. 。我们在这一系列前面提过,Gauss曾经在Encke寄来的信件上计算Eisenstein在世多少天。据Gauss最早的传记作者Wolfgang Sartorius von Waltershausen的记载,Gauss给他的朋友们编了一个表格,表格的内容是各人在世的天数。Gauss对自己也不例外。Biermann注意到,8113是Gauss 1799年7月16日时在世的天数,而这一天Gauss获得了博士学位。所以表格中的四位数代表的是固定的日期,这些四位数或五位数编码的是当日Gauss在世的天数。至于表格第二列和第三列的内容,Biermann将其解释为Gauss晚年和Encke提到的内容:Gauss喜欢用一刻钟的闲暇时间来计算长度为1000的区间中有多少个素数,所以第二列记载的是Gauss当日统计的区间个数,而第三列就是累计统计的区间个数。这一页上用方框标记的最早日期是 5343 ,换算过来就是1791年12月15日,比高斯1849年回忆的时间(1792年或1793年)还要稍稍早一点。
  4. Gauss在日记本[提供链接的第9页]上写着Alexander Pope - Wikipedia描述Newton的著名格言:Nature & Nature's Laws lay hid in night/ God said, Let Newton be & all was light. Gauss敬服的人除Newton以外还有一个人,那就是Euler。根据2005年Gauss去世150周年纪念发表的文档中的记录[见文档第109页],Gauss所藏Euler的变分法著作中夹着一张Euler的画像可能出自Gauss本人之手![如果画像确实出自Gauss之手,那么他临摹的是这张Euler晚年的画像:commons.wikimedia.org/w]

随着地位的上升,Gauss飞到了云端上面,变得不可接触也不容易被理解。Abel因为这个原因与Gauss失之交臂,实在是令人感到遗憾。


编辑于 2017-12-30

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