抽象代数|笔记整理（A）——二次扩域，有限域，分裂域

数学话题下的优秀答主

大家好，不出意外，这是我们的最后一节正课的内容。因为我们现在是校历的第十五周，大部分的专业课都迎来了结课。抽代也不例外，所以我们的笔记内容也就到此为止了。

事实上，抽代的内容也不只是这么点，这些只是一些代数学的基础内容。不过之后的相关研究和内容，就是按照自己的研究需要去自己学了。

我们学校还有一门代数学的课，但是因为开课时间大约是一年多以后，并且我也不一定需要学代数学（毕竟主修方向不是基础数学，可能还要花点时间学点应用的东西）。所以续上这一系列笔记的概率不大。但是我保证，如果我能够有时间修代数学，我还会尽力去完善和补充这笔记上的内容！

最近也注意到了一些评论，私信中也看到了一些评论和问题。因为我自己的实力，扩展和解答的能力不足，所以很多问题我自己是解决不了的。不过我会通过邮件联系Prof，将一些我觉得有意思的题目反馈给她，希望不会让大家失望。

当然有人问，笔记标号上的A是smg？之前作为一个程序员，省字节的习惯还没有改掉，10给我的感觉很臃肿，于是我决定改用十六进制表示，用A表示10的意思啦。希望大家理解一个程序员的修养，哈哈。

废话少说，我们继续我们的内容。

提供之前的笔记：

我们开始我们的内容

特征(Characteristic)，二次扩域(Quadratic extension)

二次扩域是扩域中一个特殊的情况，有一些有趣的性质，这里我们简单提一下。

在这之前需要给一个之后要用的定义

Definition:Characteristic
设 F 是一个域，如果 p 是满足 p.1=1+1+...+1=0 的最小的正整数（ 1 是域中的单位元），那么我们定义 p 是这个域的特征。记作 Char(F)=p 。如果这样的 p 不存在，我们认为定义它的特征为 0 。

特征其实部分描绘了域的结构。另外我们有必要说一下，因为之后的内容大部分都与数域会有联系，因此我们用 1 表示单位元，会使符号表示更友好一些。

例子也不难说，比如 Char(F_p)=p,Char(Q)=0 。

虽然这挺显然的，但我们有必要提一下，特征只有两种情况：0和素数（想想为什么）。

下面就是关于二次扩域的最基本的性质了。

Proposition:
设 F 是一个域， Char(F) \ne 2 ，那么任意的域的二次扩张 K （也就是说 [K:F]=2 ）可以通过连接一个平方根得到。也就是说 K=F(\delta) ，且 \delta^2=d \in F 。反过来，如果 \delta 是在 F 的域的扩张里的一个元素，同时满足 \delta^2 \in F,\delta \not \in F ，那么 F(\delta) 就是 F 的一个二次扩域。

我们证明一下这个结论。

我们注意到这是个二次扩域，二次扩域就意味着有两个基，于是我们可以通过基的构造，构造二次方程，找到这个 \delta 。

因为 [K:F]=2 ，我们可以设基为 \{1,\alpha\} ，其中 \alpha \in K 且任意，并且 \alpha^2 \in K ，这样的话，因为 \{1,\alpha\} 是这个扩域的基，我们可以说明存在 a,b \in F ，使得 \alpha^2=a+b\alpha ，注意到这就是一个二次方程，我们配方可以得到 (\alpha-\frac{b}{2})^2=\frac{b^2}{4}+a \in F

那么我们考虑令 \alpha-\frac{b}{2}=\delta ，这样的话，因为 \alpha \in K,\frac{b}{2} \in F \subset K ，于是 a-\frac{b}{2} \in K，也就是 \delta \in K 并且根据等式，有 \delta^2 \in F ，于是我们有 F(\delta) \subset K ，下面只需要证明反方向的包含关系，就可以部分得到我们的结论。

证明反方向的包含关系，意味着只需要证明对于任意的 x \in K ，有 x \in F(\delta) 就可以了。而这并不难说，因为我们有一个现成的 \alpha 。因为 \alpha=\frac{b}{2}+\delta ，而 \frac{b}{2} \in F \subset F(\alpha) ，于是 \alpha \in F(\delta) ，这样的话就证明了 K \subset F(\delta) ，于是乎 K=F(\delta) ，就证明了结论。

事实上，如果 \delta \not \in F, \delta^2 \in F ，那么 \{1,\delta\} 就是 F(\delta) 在 F 下的一个基，于是 [F(\delta):F]=2 ，所以确实这是个二次扩域。

这就是关于二次扩域的基本内容了。

下面这个性质给扩域与子域建立了一个简单的联系。

Proposition:
设 K 是 F 的一个域的扩张，那么所有的在 K 内是 F 上代数数的元素构成的集合构成 K 的一个子域。

这个证明需要用一个证明子域的一个思想。反过来，它也可以被用在证明子群，子环的一些习题中。

不妨设 \alpha,\beta \in K ，并且是 F 上的代数数，那么注意我们这里只需要证明 \alpha-\beta ,\alpha\beta^{-1} 都是 F 上的代数数即可（这就是技巧，想想为什么）。

那么我们再将假设做的大胆一些，事实上只需要考虑构造出来的域 F(\alpha,\beta) 即可，这是因为这个域更好想，并且也涵盖了我们要研究的两个对象。

我们知道，如果考虑它在 F 下的维数，如果这是个代数扩张，那么它一定是个有限数（但是，并不代表如果是无限数，这就不是个代数扩张，上一节我们举过反例）。所以我们根据公式 [F(\alpha,\beta):F]=[F(\alpha,\beta):F(\beta)][F(\beta):F] 可知左式是一个有限数（因为右边的第一项相当于添加了一个 \alpha ，而第二项相当于添加了一个 \beta ，当然不会让维数变成无限大），于是我们可知这确实是一个代数扩张。

也就是说，扩张的元素在 F 下都是代数数。而我们要考察的元素 \alpha-\beta,\alpha\beta^{-1} 都是在这个代数扩张的域内的。所以这就说明了结论成立。

下面回到特征，看看特征的相关性质。

Proposition:
设 F 是一个域，如果 Char(F)=0 ，那么 F 包含一个子域与 \mathbb{Q} 同构，如果 Char(F)=p ,那么 F 包含一个子域与 \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} 同构。

我们证明一下这个结论。

又到了证明同构的时候，证明同构的题目见了很多很多了，基本思路都是：找映射，找映射规则，找核空间。这个地方也不意外。

先考虑特征为0的情况，我们构造一个映射 \phi:\mathbb{Q} \to F ，如何构造映射规则呢？

不知道之前的笔记有没有注意过，在构造分式域的时候，我们考虑的也是最直接和最本质上的映射，那么对于任意的 \frac{n}{m} \in \mathbb{Q} ，对应到哪里合适？显然就是 (n.1)(m.1)^{-1} （注意我们的写法）。因此这就是我们的映射规则了。

下面的事情都是顺其自然：证明映射无缺陷(well-defined)，证明映射是个同态。我们不再写出详细证明。

之后我们考虑核空间 Ker ，因为 Ker \phi=\{n/m \in Q \mid (n.1)(m.1)^{-1} =0\} ，这个要注意到的是，显然 (m.1)^{-1} \ne 0 （分母不为0），而且满足 n.1=0 的 n 只有 0 （因为它的特征为0，根据定义可以得到这个结论），所以我们就有 Ker \phi =\{0\} 。

另一方面，根据第一同构定理， Q/Ker \phi \simeq Im\phi ，所以 Q \simeq Im \phi ，显然， Im\phi 是一个 F 的子域，这就证明了结论。

如果特征是p，那么我们考虑的映射是 \varphi:\mathbb{Z} \to F，映射规则为 n \to n.1 ，那么我们只需要考虑 Ker ，也就是说证明 Ker \varphi=p\mathbb{Z} 就行了。带余除法一下挺显然的，我们之前也做过类似的题目的讨论，这里就不给出详细的证明了。

这个性质比较重要的原因是，对于任意的域，我们都可以找到它的子域，与这两个数域是同构的。我们用一个定义来补充说明一下它的意义。

Definition:prime field
诸如 \mathbb{Q} ， \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} 这样的没有非平凡子域的域称为素域。

其实这个性质就是想告诉我们，任何一个域，都是一个素域的扩张。

有限域(finite field)，分裂域(splitting field)

通过这个性质，我们也有办法去刻画一个有限域的元素个数和它的相关结构。具体的分析如下。

设 K 是一个有限域，那么它的特征不可能为 0 ，这样的话就应该是一个素数 p 。我们根据上面的那个性质，可以知道 K 包含一个子域是 F_p （有 p 个元素）。我们设 [K:F_p]=n ，也就是说把这个有限域 K 看作了 F_p 上的一个向量空间。

再设 \{u_1,...,u_n\} 是基，那么对于任意的 \alpha \in K ，就有 \alpha =a_1u_1+...+a_nu_n ，根据排列组合理论我们就能得到 |K|=p^n ，并且我们也能得到每个元素的形式。

至于分裂域概念的产生，也是基于一些比较自然的想法：我可不可以根据一个已知而给定的域，通过增添一个多项式的根，得到一个我需要的新的域的扩张？

这个想法促进了分裂域的产生。它的正式定义如下：

Definition:splitting field
设 F 是一个域， f(x) \in F[x] 是一个系数为正的多项式， K 是 F 的一个域的扩张。如果一个多项式 f(x) 可以写成一系列在 K[x] 的一次多项式的乘积，则称 K 是 F 上关于 f(x) 的分裂域。

翻译过来就是说，我们把多项式表示为 f(x)=u(x-u_1)(x-u_2)...(x-u_n),u,u_i \in K ，并且 K=F(u_1,...,u_n)

比如说，对于有理数域 \mathbb{Q} ，我们如果想让这个域扩大一些，让它含有 x^2-2=0 的根，那么就需要添加两个数 \sqrt{2},-\sqrt{2} 。这样的话根据定义我们把域写成 \mathbb{Q}(\sqrt{2},-\sqrt{2}) ，也就是 \mathbb{Q}(\sqrt{2}) 即可。

下面这个性质刻画了分裂域的一个性质

Proposition:
设 F 是一个域， f(x) \in F[x] ， deg(f(x)) \ge 1 ，那么存在一个关于 f(x) 的分裂域，并且任意两个分裂域都是 F-isomorphic （F-同构）的

这是什么意思呢？就是说，任意两个 f(x) 的分裂域，它们都是同构的。代数学中，同构与相等的区别其实不大，事实上我们一般认为，如果两个代数结构同构，就可以把它们理解为一个东西。

我们不再证明。

看到这里可能大家容易直觉上产生一个想法：既然多项式是给定的，那么它的根也就给定了，为什么它的分裂域不是相等的呢？

这个想法也是困扰了Prof一天的时间，最终她给了一个精妙绝伦的例子！

考虑一个矩阵集合 M_2(\mathbb{C})=\{[\begin{smallmatrix}a & b \\ c & d \end{smallmatrix}] \mid a,b,c,d \in \mathbb{C}\} ，并且设域 F 为所有形式为 \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix} 的矩阵集合，其中 a \in \mathbb{R} 。并且设多项式为 f(x)=x^2+1 （注意这里的 1 是指 F 内的单位元，也就是单位矩阵），这样的话考虑两个根 \alpha=\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} ，事实上经过计算，它们都是 f(x) 的根，但是很明显，经过演算，可以得到 F(\alpha),F(\beta) 是不同的两个域。

也就是说，多项式给定，对应的根却不一定给定！这个性质只是在数域上成立的，矩阵域上可没有这么好的性质。

我们可以把相似的思想用法，再用回到有限域的情况。

Theorem:
设 p 是一个素数， n 是一个正整数，那么存在一个域它的元素个数为 p^n ，并且在同构意义下唯一。

这个证明方法还是很奇特的，不过学过竞赛的人会对这样的构造略有眼熟。

首先看到这个元素个数就要想到我们之前对于有限域的讨论。显然 p 是之前那个未扩张有限域的元素个数。所以我们这里构造的时候考虑的域就不是我们一般考虑的数域 F ，而是 F_p 。

另外，再看看这个定理，为什么要提“同构意义下唯一”？是不是很眼熟？对的，这提示我们证明要考虑一个多项式的分裂域，因为分裂域是具有这样的性质的。

有了这些前提，就可以开始写证明了。

我们考虑一个多项式 f(x)=x^{p^n}-x ，那么按照多项式理论应该是有 p^n 个根的。那么我们的思路很简单，就是考虑证明，这 p^n 个根连接原来的域 F_p 构成的域 K 构成 F_p 上的一个分裂域。

证明它的第一件事，就是考虑它是不是真的有 p^n 个根。也就是说，是否它们是互异的？答案是肯定的，我们考虑一下，假如有一个根 \alpha 它的次数比一次要大，那么我可以把多项式写成 f(x)=(x-a)^2g(x) 。求导一下就有 f'(x)=2(x-a)g(x)+(x-a)^2g'(x) 。也就是说 f'(a)=0 。

但是另一方面呢？我们考虑这个多项式本身求导，有 f'(x)=p^nx^{p^{n}-1}-1 ，我们要注意的是我们考虑的域是 F_p ，所以其实 f'(x)=-1 ，也就是说 f'(a)=-1 ，这就矛盾了。也就是说，它的所有根都是互异的。

好的，再看看这集合它为什么是一个域。我们要证明它是一个域，需要做的工作是什么？

我们在之前证明子域的时候，考虑的都是常规操作。这次我们和之前一个例子一样，考虑非常规的操作。

我们假设这个集合是 E ，那么对于任意的 \alpha,\beta \in E ，只要证明 \alpha-\beta,\alpha\beta^{-1} 都在这个域内就可以了。也就是说，它们俩都是方程 x^{p^n}-x=0 的根。

首先因为 \alpha,\beta \in E ，所以 \alpha^{p^n}=\alpha,\beta^{p^n}=\beta ，我们注意到 (\alpha\beta^{-1})^{p^n}=\alpha^{p^n}\beta^{-p^n}=\alpha\beta^{-1} （对不起，我有必要说一下，因为这里考虑的都是多项式了，所以我们有必要说明这个域乘法意义下是交换的，否则这个运算是不合法的）， (\alpha-\beta)^{p^n}=\alpha^{p^n}-\beta^{p^n}=\alpha-\beta （这是因为，二项式展开后，除了这两项，其余项都是 p 的倍数，那么在特征为 p 的域下这一项就是0）。所以，我们就可以得到它确实是一个域。

好的，我们知道了 E 是一个域，有什么好处？因为我们已经找到了这个有 p^n 个元素的域 E ，所以现在要证明构造出来的这个东西，确实它就是 K ，应该如何去做？

回想定义， K 是 F_p 域上关于 f(x) 的一个分裂域，也就是说， K 中要含有 F_p 和那 p^n 个根。那么我们只需要证明 F_p 里的每个元素，都是在 E 中的就可以了。

直接代入那些元素我觉得有些太不友好了，事实上考虑一下 E 作为一个域的性质，这个域内有单位元 1 ，并且它确实是 f(x)=0 的根。但是 F_p 中的单位元也是 1 ，这就说明了 F_p 的所有元素都是 f(x)=0 的根（因为我可以用这个单位元生成整个 F_p ），这样的话就说明了这个结论是对的。也就是 K=E 。

综上，我们确实就说明了这个分裂域是存在的，并且因为它是分裂域，所以同构意义下唯一。

如果不放心这个唯一性，还可以考虑这么证：因为 K\backslash\{0\} 是一个乘法群，并且有 p^n-1 个元素，这就意味着对于这个群内的任意的一个元素 x ，有 x^{p^n-1}=1 。那么 x^{p^n}=x ，也就是说群内的所有元素都是它的根， 0 手工验算也是，所以这个集合确实涵盖了所有的 f(x)=0 的根。也就满足了分裂域的定义。

这个证明总体还是很巧妙的，也运用了很多多项式内的相关性质和内容。我觉得难理解的地方在于域的变化，因此有点反直觉（不过下面这个会让你有更强烈直观的反直觉的感觉）。看着累了烦了的没关系，我们之后提供两个Prof用来润滑的例子来休息一下，然后给出我们正文的最后一个大定理。

先来看第一个吧。

Example:
通过考虑 F_2 ，表示出一个4阶的域的所有可能的元素形式。

简单粗暴的一个题。

我们设这个有限域为 K ，那么我们很容易知道的是 [K:F_2]=2 （根据之前对有限域的讨论），那么我们考虑的就是 F_2(x) （这么写的原因是，二次扩张只需要添加一个元素就可以，有之前的二次扩域的性质保证）。现在的问题是找到满足分裂域相关性质的那个多项式。先不妨设它是 f(x)=ax^2+bx+c 吧。要注意的是，涉及到扩张维数的时候，对应的扩张的多项式要在 F_2 下是不可约的，也就是说，在这个域的意义下， 0,1 都不能作为根存在。

有了这些铺垫我们就好确定系数了，首先因为它要求二次，所以 a=1 。因为 0,1 不能作为根，所以 c \ne 0,1+b+c \ne 0 。开心的是，因为我们一直都是在 F_2 意义下讨论的多项式的值，也就是说如果不是0，那就是1。因此我们可以得到 c=1,1+b+c=1 ，那么可以得到 b=1 。这样的话多项式就确定了下来是 f(x)=x^2+x+1 。

结合我们之前说的性质 F_2(x)/(x^2+x+1) \simeq F_2(\alpha) ，结合 F_2(\alpha)=\{0,1,\alpha\} ，我们容易得到， F_2(x)=\{0,1,\alpha,\alpha+1\} ，其中 \alpha 是多项式在 F_2 意义下的根。这就是我们要的答案。

还有一个例子是这样的

Example:
设 K 是一个有限域，证明所有的域中的非零元素之积为-1

根据讨论我们知道， K 的阶数一定是 p^r 个，那么我们不妨这么设，然后考虑乘法群 K ^{\star}=K \backslash \{0\} ，这样就有 |K^*|=p^r-1 。注意到群的性质，我们可以知道这个群里任何一个元素，它都是 x^{p^r-1}-1=0 的根。

看到非零元素之积，学过高代的人要有印象，这需要联想到韦达定理。

根据韦达定理，所有非零元素之积为 (-1)^{p^r-1}*(-1)=(-1)^{p^r} ，也就是说，除了 p=2 的情况，其余的都已经证好了。

p=2 的情况呢？别忘了， p=2 说明考虑的域是 F_2 ，这说明 -1=1 ，想明白了吗？

当然，不要在公车上和人讨论这个定理，一个 -1=1 说出来，别人就有可能把我们当成傻子……

好啦，让我们欢迎我们这一系列笔记中最后一个大定理！

Theorem:
设 \varphi: F \to F' 是一个域之间的同构， f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0 ， g(x)=\varphi(f(x))=\varphi(a_n)x^n+...+\varphi(a_1)x+\varphi(a_0) 。设 E 是 F 下关于 f(x) 的分裂域， E' 是 F' 下关于 g(x) 的分裂域，那么这个同构 \varphi 会拓展到同构 \sigma: E \to E' 。

我们证明一下这个结论，这个结论的证明我们考虑的是对 deg(f(x)) 进行归纳。在这之前，先来考虑一些很简单的情况。

如果 f(x) 的每一个不可约的因子都只是一次的，那么此时 f(x) 它的所有的根都是在 F 内的，对另一边也是同理（想想为什么，这需要用到域扩张维数的一个性质）。那么这个时候很平凡， E=F,E'=F',\varphi=\sigma 。

如果 f(x) 至少含有一个不可约因子 p(x) ，满足 deg(p(x))\ge 2 ，这个时候考虑 q(x)=\varphi(p(x)) ，同构意义下它当然也是不可约的。设 \alpha \in E 是 p(x) 的一个根， \beta \in E' 是 q(x) 的一个根，那么我们可以根据之前的定理（应该是上一节），说明可以把这个同构 \varphi 扩展到一个新的同构 \sigma':F(\alpha) \to F'(\beta) 上，满足 \sigma'|_F=\varphi,\sigma'(\alpha)=\beta ，并且 f(x)=(x-\alpha)f_1(x) \in F(\alpha)[x],g(x)=(x-\beta)g_1(x)\in F'(\beta)[x]

确实，我们通过一种类似一个一个消除的方法，来不断的降低多项式的次数，进而使我们有办法能够对次数进行归纳。但现在我们还需要说的就是， E 确实是在 F(\alpha) 意义下关于 f_1(x) 的分裂域。而根据我们之前的证明，其实证明这个结论就差了一步：证明它是最小的那个扩域。

而这是很显然的，因为所有的 f_1(x) 的根都是在 E 内的，如果这些根都包含在一个更小的满足条件的域 L 内，也就是说 L 同时还要包含 F(\alpha) ，那么这样的话， L 就包含了 f(x) 与 F 的所有东西。这会发生什么？别忘了， E 是我们给定的大的多项式下的分裂域，是有最小性的。如果 L 更小就矛盾了。因此这个结论就成立了。而对于 E' 上也是有个相似的结论的。

好的，回到归纳法，如果 deg(f(x))=n=deg(g(x)) ，那么这样做之后，就会有 deg(f_1(x))=n-1=deg(g_1(x)) 。这样的话，根据第二数学归纳法，我们就能得到，确实存在一个同构 \sigma:E \to E' ，它是 \sigma':F(\alpha) \to F'(\beta) 的扩张。这就证明了结论。

这个定理要是理解起来，也是挺有难度的。下面一张图或许可以给个相对直观的印象。