狭义相对性原理(一)

狭义相对性原理(一)

萨塔妮亚萨塔妮亚

目录:

量子场论(0)

量子场论(1)

量子场论(2)

本次内容:如果要求狭义相对性原理在量子理论中成立,那么我们就必须考虑Hilbert space上洛伦兹群的酉表示。

(说好了从零开始,那就从零开始好了。我们的出发点是,构造一种和狭义相对论相容的量子理论,所以,我们先来看看重要的狭义相对性原理。

哦,对了,本来关于狭义相对性原理的内容是要一次写完的,但一次写这么多实在是有点辛苦,所幸我就把它们拆成很多小块了,这样也能写的相对更细致一些。)


一,Minkowski 空间:

1,在狭义相对论中,根据光速不变原理可以直接得到:

dx^2+dy^2+dz^2-dt^2=dx'^2+dy'^2+dz'^2-dt'^2 ,也就是说呢,表达式:

ds^2=dx^2+dy^2+dz^2-dt^2 ,是一个不变量。这个样子像极了欧几里得空间(R^n,\delta_{ab}) 中的线元。由此,我们不妨放弃度规的正定性,并定义一种具有非正定度规的流形: (R^4,\eta_{ab}) ,我们称之为Minkowski空间,其局部坐标为: (x,y,x,t)=(x^1,x^2,x^3,x^0)

2,流形 (R^4,\eta_{ab}) 是一个平凡流形,这给我们带来了极大的方便。对于平凡流形 R^4 ,它同时也是一个矢量空间,且同构与它的切空间 T_xM\simeq R^4 。这时候我们发现,Minkowski空间与它的余切空间 T_x ^*M 互为对偶矢量空间。正因为如此,我们可以将“坐标系”与“基底”的概念等同起来,这一点是非平凡流形 M 所不具备的。

3,经典力学中动量 p 即为构型空间 M(具有正定度规) 上的余切矢,相空间即为余切丛 T^*M 。同理,对于Minkowski空间,也可以定义类似的四维动量。考虑相对论中的能量-动量关系: E^2=p^2+m^2 ,我们定义四维动量为: p^\mu=\left( p^i,\omega_p \right)\omega_p=\sqrt{m^2+p^2}

综上,我们现在有两个互相对偶的矢量空间 R^4(R^{4})^* ,它们分别是Minkowski时空 (x^i,x^0) 和动量-能量空间 \left( p^i,\omega_p \right) (余切空间)。它们之间在负定内积 \eta_{ab} 诱导出的同构映射的意义下同构。


二,洛伦兹变换:

1,狭义相对论中,我们关注不同惯性观者之间的联系。每一个惯性观者对应于 R^4 上的一条类时测地线,不同惯性观者之间由线性变换 \Lambda_t:R^4\to R^4 相联系,根据物理规律不变性的要求,这一线性变换还必须是保度规 \eta_{ab} 的。由此,我们将 R^4 上的保度规线性变换称为洛伦兹变换,由 R^4 上的10个Killing矢量场诱导出的线性变换,加上时间和空间反演可以复合出所有的洛伦兹变换。

2,很显然,所有的洛伦兹变换构成了一个Lie群,我们称之为庞加莱群: R^4\ltimes O(3,1) 。在不考虑时空平移的情况下, O(3,1) 被称为洛伦兹群。洛伦兹群有四个连通分支,它们由 det\Lambda=\pm1sgn(\Lambda^0_0) 来标记。我们考虑 det\Lambda=1,\Lambda^0_0\geq1 的情况,这个连通分支记做: SO^{+}(3,1) ,它与其与三个连通分支之间同构时间反演 T 与空间反演 P 相联系。由此,我们对洛伦兹变换(庞加莱群)的研究,就可以划归为研究 SO^+(3,1)T,P

3,R^4\ltimes SO^+(3,1) 本身的定义就是矢量空间 R^4 上的线性变换,所以它原本就有一种自然的表示。我们可以将其在 R^4 上的表示写成 4\times4 矩阵的形式,例如:

x 轴转动: \Lambda=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&cos\theta&-sin\theta&0&\\0&sin\theta&cos\theta&0&\\0&0&0&0&\end{pmatrix}

其生成元为: J_1=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&0&-1&0&\\0&1&0&0&\\0&0&0&0&\end{pmatrix}

boost: \Lambda=\begin{pmatrix} cosh\theta&0&0&sinh\theta\\0&0&0&0&\\0&0&0&0&\\sinh\theta&0&0&cosh\theta&\end{pmatrix}

其生成元为: K_1=\begin{pmatrix} 0&0&0&i\\0&0&0&0&\\0&0&0&0&\\i&0&0&0&\end{pmatrix}

由此我们容易计算出 R^4\ltimes SO^+(3,1)的 Lie代数(称为庞加莱代数)满足的对易关系为:

[J_i,J_j]=i\epsilon_{ijk}J_k[J_i,K_j]=i\epsilon_{ijk}K_k[K_i,K_j]=-i\epsilon_{ijk}J_k

[J_i,P_j]=i\epsilon_{ijk}P_k[K_i,P_j]=-iH\delta_{ij}[K_i,H]=-iP_i

[J_i,H]=[P_i,H]=0 。其中, P_i,H 为时空平移变换的生成元。

4,值得注意的一点是,如果我们考虑酉表示的话(下文会说明原因),因为 \pi(SO^+(3,1))=Z_2SO^+(3,1) 只存在投影酉表示,而非正常酉表示,我们可以直接考虑其universal cover: Spin(3,1)\simeq SL(2,C) ,这是一个单连通Lie群,故其存在正常酉表示。由于 SO^+(3,1)SL(2,C) 的Lie代数同构,它们在物理上给出的内容相同,所以之后我们会直接考虑: R^4\ltimes SL(2,C)


三,狭义相对性原理:

1,考虑到Minkowski空间 R^4 ,与能量-动量空间 (R^4)^* 互为对偶空间,我们还可以考虑 R^4\ltimes SL(2,C)(R^4)^* 上的对偶表示,即: \Lambda\to \Lambda^{\dagger-1} 。也就是说,如果 R^4 上观者 A 与观者 B 通过时空变换 \Lambda相联系,那么两个观者观测到某一对象的 (p^i,\omega_p)(R^4)^* 上能量-动量变换 \Lambda^{\dagger-1} 相联系。在相对论中,力学量表示为时空 (M,g_{ab}) 上的张量场,故不同观者观察到张量的分量可能有变化,但张量场本身不会有变化。

由此,这两种自然的表示在数学上完全等价,我们会依照情况使用时空或四维动量空间的表示。

2,现在,最最关键的一点来了,什么是狭义相对性原理?

我们考虑两个惯性观者 AB ,假设它们的时空坐标用洛伦兹变换 (\Lambda,a)\in R^4\ltimes SL(2,C) 相联系,即: x'^\mu=\Lambda_\nu^\mu x^\nu+a^\mu 。这时候它们观测某一物理现象时当然会出现不同,不过即使不同,它们观测到的物理实质(即物理规律)不能有不同,这就是狭义相对性原理。所以, 在观者AB 观测的物理现象之间必须存在某种“等价联系”(例如上面对偶表示中的保度规变换 \Lambda^{\dagger-1} ,即反映了四维动量之间的等价联系)。

综上,当两个观者观察某一物理现象时,观者之间的联系是 (\Lambda,a)\in R^4\ltimes SL(2,C) ,那么,相应的它们观测到的物理现象之间的“等价联系”应为: (\Lambda,a)\to U 。若 U 为某个矢量空间上的线性变换,那么:狭义相对性原理要求我们要去寻找  R^4\ltimes SL(2,C) 的表示。


四,量子态的变换:

再强调一遍我们构造量子场论的动机:我们要构造一种和狭义相对论相容的量子理论。由此我们构造出的量子理论必须满足狭义相对性原理,和相对论的因果性。这几次我们主要考虑的是狭义相对性原理。

1,量子力学的态矢空间是某个(依研究的系统而定)复数域上可分的Hilbert space H 。观者 A 与观者 B 之间观测到的态矢 |\psi\rangle \in H 自然是不同的,但是两者观测到的物理定律不能有差异。由此,对于满足狭义相对性原理的量子系统,我们需要考虑的是  R^4\ltimes SL(2,C) 在复可分Hilbert space上的酉表示,即: \forall (\Lambda,a) \in R^4\ltimes SL(2,C)\exists 酉算子 U(\Lambda,a):H \to H 。这是因为,在Hilbert space作为状态空间的量子力学中,酉算子意味着保内积同构,意味着变换前后的等价。

2,酉算子在量子力学中的重要性怎么强调也不为过,给定  G=R^4\ltimes SL(2,C) 的生成元 A\in \mathfrak{g} ,它可以决定 G 上的一条单参子群 \gamma(t)\in G 。进而当考虑酉表示 G\times H \to H 时,给定生成元 A\in \mathfrak{g} 我们就可以得到(强连续)单参酉群: U(t)=e^{\pi(A)t} ,这就是时空变化 \gamma(t)对应的态矢变换。其中 \pi:A\to \pi(A) 为相应Lie代数的表示。

3,由Stone可知,控制量子态演化和变换的单参数强连续酉算子群 U(t)=e^{-iAt} 的生成元 A 一定是自伴算子,这里通过Lie代数表示: \pi:A\to \pi(A) 。我们可以得到描述量子系统的力学量 \pi(A) ,实际上,量子力学中绝大多数力学量(自伴算子),都可以通过洛伦兹变换下系统的对称性来生成,例如:

四维动量算符: \pi(p^\mu)=-iP^\mu ,时空平移变换为: U(t)=e^{-iP^\mu a_\mu}

角动量算符: \pi(J_i)=-iJ_i ,空间转动变换为: U(t)=e^{-iJ_i\theta}

(不过,对于非相对论量子力学来说,我们要考虑的是伽利略群的酉表示,利用伽利略变换下的对称性生成我们熟悉的力学量: HP^iJ_i )。

当观者由时空变换 (\Lambda,a) 相联系时,的力学量之间的变换为:

U(\Lambda,a)J^{\rho\sigma}U^{-1}(\Lambda,a)=\Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu \left( J^{\mu\nu}-a^\mu P^\nu+a^\nu P^\mu \right)

U(\Lambda,a)P^\rho U(\Lambda,a)=\Lambda^\rho_\mu P^\mu


这次就先到这里了,不过我们已经把大体的思路讲的很清楚了。我们要构造满足狭义相对性原理的量子理论,接下来无非是把 R^4 \ltimes SL(2,C) 的酉表示应用到各种具体问题中去罢了。类似于量子力学中我们得到 SU(2)2l+1 维不可约酉表示,下次我们从构造 R^4 \ltimes SL(2,C) 的不可约酉表示出发,并且将其应用于单粒子态的分类问题。



(最后,图侵删)

「真诚赞赏,手留余香」
1 人赞赏
法南
文章被以下专栏收录
58 条评论