布朗运动、伊藤引理——细说Black-Scholes公式的前世今生（下篇）
期权与期货的存在，几乎和交易本身一扬古老，市场的先行者可以上溯至古希腊和古罗马。但期货和期权如何定价？这个问题经济学家们借助几百年来物理学家、植物学家和数学家的智慧才得以解答，著名的BS公式一经面世，就永远地改变了金融。
在《布朗运动、伊藤引理——细说Black-Scholes公式的前世今生（上篇）》中，我们介绍了布朗运动以及伊藤引理。这两块内容对推导BS微分方程至关重要，其中布朗运动是假设前提，伊藤引理是数学工具，今天我们就从证券价格的变化过程开始，看看著名的BS公式是如何诞生的。
证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为
、方差率为
的伊藤过程来表示：
两边同时除以S得：
由上式可知，在短时间后，证券价格比率得变化值为：
可见，
也具有正态分布特征
（2.6）
衍生证券所服从的随机过程：
根据伊藤引理，衍生证券得价格f应遵循如下过程：
（2.7）
证券价格自然对数变化过程：
令f=lnS,由于
带入（2.7）式：
（2.8）
证券价格对数f遵循普通布朗运动，且：
B-S定价模型假设
B-S模型有7个重要的假设：
1、股票价格行为服从对数正态分布模式（核心假设）；
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；
3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；
4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；
5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；
7、证券交易是持续的；
8、投资者能够以无风险利率借贷。
BS微分方程的推导
我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：
则：
（2.9）
（2.10）
（2.11）
为了消除
，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和
单位标的证券多头得组合。令
代表该投资组合得价值，则：
（2.12）
在
时间后：
（2.13）
将（2.9）和（2.11）带入（2.13），可得：
（2.14）
在没有套利机会的条件下：
把（2.12）和（2.14）带入上式得：
化简为：
这就是著名的BS微分方程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
风险中性定价原理
风险中性理论（又称风险中性定价方法 Risk Neutral Pricing Theory ）表达了资本市场中的这样的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。
尽管风险中性假设仅仅是为了求解BS微分方程而做出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性的情况，也适用于投资者厌恶风险的情况：
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：
其现值为：
（2.15）
对数股票价值的分布为：
（2.16）
可得：
其中：
上式就是荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式
莫顿与 布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）共同进行了BS公式的研究（布布莱克曾经表示：“布莱克-斯科尔斯定价模型或许应当被叫做布莱克-莫顿-斯科尔斯定价模型。”），由于布莱克的早逝，莫顿与斯科尔斯一起获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
BS定价模型以及随后的演进，导致了股票期权和其他金融衍生品的爆炸式增长。它还开启了华尔街分析师是专业为数学或物理学的高智力人才时代。
为未来定价
BS定价模型的面世，意味着经济学家发现了数学家所说的“封闭解”，只要输入五个变量——当前股价 S、行权价格 X，行权日距现在的时间（按年计算）T，无风险收益率 r，以及标的股票的年收益率的标准差 σ ——模型就可以计算出欧式看涨（看跌）期权的理论价格。
。
这个公式的巨大优势在于，它不需要期权卖方对标的资产价格将来如何波动做出判断。
但这个模型也有着深深的缺陷。与物理模型所预测的不同，金融世界频繁发生着“厚尾”事件：
Long-Term Capital Management（长期资本管理公司）是获得两位诺贝尔经济学家支持的投资公司，1998年它的发展达到了顶峰。但当俄罗斯和美国等国家发行的债券收益率开始出现偏离时，长期资本管理公司失败了，这种失败模型认为几乎不可能发生。
▲长期资本管理基金净值走势图
10年后，美国各地房价同时暴跌，引发了金融危机，在模型上，这种情况依旧几乎不可能发生。
公式的广泛应用不仅使套利机会减少，也会成倍放大模型认为“不可能”的危机，毋庸置疑，BS定价模型是一项很伟大的成就，但是金融世界的复杂并不能仅通过一个公式完全概括，它也受参与者的影响不断发展变化。
驯服风险并为未来定价远未结束
谁会在巨人肩上再创奇迹呢？
未来的精彩
我们拭目以待
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