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Gauss与AGM(IV-3)

Gauss与AGM(IV-3)

[注:题图是Euler1749年在柏林科学院宣读的文章Animadversiones in Rectificationem Ellipsis (椭圆弧长研究)第一页。文章收录于Euler的著作Opuscula varii argumenti 第二卷(共三卷)]


Gauss并不是第一个发现AGM序列与椭圆积分关系的人。在Gauss开始研究AGM之前,Lagrange就已经发表了一篇关于椭圆积分的文章(1785年)。在文章中,他给出了如下结论:

定义 p^\prime=p+\sqrt{p^2-q^2}q^\prime=p-\sqrt{p^2-q^2} 。如果给定变换 y^\prime=y\sqrt{\frac{1\pm p^2y^2}{1\pm q^2y^2}} ,那么 \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{(1\pm (py)^2)(1\pm (qy)^2)}}=\frac{\mathrm{d}y^\prime}{\sqrt{(1\pm (p^\prime y^\prime)^2)(1\pm(q^\prime y^\prime)^2)}}


Lagrange所用的变换正是Landen变换。注意到上面的定义已经定义了逆向的AGM序列,如果把迭代过程逆过来,那就是正向的AGM序列。由于正向迭代过程中的 p,q 很快收敛到同一极限,因此,这个迭代不仅给出了

\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{(1+p^2y^2)(1+q^2y^2)}}

的一个方便的计算方法,同时还给出了Gauss 的AGM与椭圆积分的关系

有趣的是Lagrange在1777年1月3日致Condorcet信件中明确说过,他知道Landen的文章:

J'ai vu, dans le dernier Volume des Transactions philosophiques, un théorème de M. Landen qui me paraît bien singulier. Il réduit la rectification des arcs elliptiques à celle des arcs hyperboliques. Je n'ai pas encore eu le temps d'examiner s'il n'y a pas de paralogisme dans la démonstration.

我在上期自然科学会报上看到Landen先生的一个看起来很奇特的定理。文章将椭圆弧长转化为双曲线弧长。我还没能抽出时间来检查证明中是否有误。

尽管上面的变换形式上和Landen的变换一模一样,但Lagrange文章中对Landen却不置一词,所以Landen的文章对Lagrange有多大影响是无法确定的。


[注:Waldo Dunnington的Gauss传记中有Gauss大学期间的借书记录。记录显示,Gauss 1797年1月18日曾经借过Landen的数学著作,其中包含Landen变换的文章。但从Gauss后来的文章看,Landen的文章并没有给Gauss留下关于Landen变换的任何印象。]


Lagrange在1785年的文章的最末一节集中探讨了AGM与椭圆以及双曲线弧长的关系。在这一章的开头他明确地提到了"feu M. Euler (已故的Euler先生)"以及他的著作Opuscula varii argumenti 。题图就是这部著作中关于椭圆弧长的文章Animadversiones in Rectificationem Ellipsis。跨时代的巨人Euler通过其文章影响的不只是Lagrange,当然还有Gauss。根据Waldo Dunnington的Gauss传记的附录,Gauss在大学期间不止一次地借出Euler的著作Opuscula


椭圆弧长的研究可以归结为第二类椭圆积分

q=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\,\mathrm{d}\theta

的研究。我们通过二项级数展开,并逐项积分,可以得到

q=\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{2\cdot 2}k^2-\frac{1\cdot1\cdot 3}{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4}k^4-\frac{1\cdot1\cdot 3\cdot3\cdot 5}{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 6\cdot 6}k^6-\cdots\right)

q 求导,我们就有

-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}k}=\frac{\pi}{2}L

其中

L=\frac{1}{2}k+\frac{1\cdot1\cdot 3}{2\cdot 2\cdot 4}k^3+\frac{1\cdot1\cdot 3\cdot3\cdot 5}{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 6}k^5+\cdots

Gauss在Leiste笔记[见Gauss全集第十卷第一册,180页]上除了这个级数以外,还给出了第一类椭圆积分的级数展开

\begin{align}K&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\mathrm{d}\theta\\&=1+\frac{1\cdot1}{2\cdot 2}k^2+\frac{1\cdot1\cdot 3\cdot3}{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4}k^4+\cdots\end{align}

Gauss通过两个级数 K,L 建立了第一类椭圆积分与第二类椭圆积分之间的微分方程。说实话,Gauss的这个方法真的是远远比分部积分方法要更容易记忆:

\begin{align}\frac{\mathrm{d}(kL)}{\mathrm{d}k}&=k\frac{\mathrm{d}(kK)}{\mathrm{d}k}\\k\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}k}&=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}k}\end{align}

借此我们很容易导出

L=(k^2-1)\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}k}+kK

同时我们也有[可以直接用级数验证第一个等式]

q=\frac{\pi}{2}(K-kL)=\frac{\pi}{2}(1-k^2)\left(K+k\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}k}\right)

如果我们把等式中的 k 换为 \sqrt{1-k^2} ,并且借用Gauss导出的第一类椭圆积分与AGM的关系

K(\sqrt{1-k^2})=\frac{1}{M(1,k)}

那么我们有

\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\cos^2\theta+k^2\sin^2\theta}\,\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{2}\left(\frac{k^2}{M(1,k)}-k(1-k^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}\frac{1}{M(1,k)}\right)


以上的研究是有一些副产物的。


---如果令 k\rightarrow 0^{+}, 我们可以断定 \frac{k^2}{M(1,k)}\rightarrow 0 ,从而有 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}\frac{1}{M(1,k)}\sim-\frac{2}{\pi}\frac{1}{k} 。因此我们可以断定,当 k\rightarrow 0^{+}, 我们有 M(1,k)\sim-\frac{\pi/2}{\log k}

---Gauss在1800年的Scheda Ae 中[见Gauss全集第十卷第一册,207-208页]给出了 M(a,b) 偏导数的计算方法。 M(a,b) 是齐次函数,所以我们利用Euler关于齐次函数的定理,可以得到

a\frac{\partial}{\partial a}M(a,b)+b\frac{\partial}{\partial b}M(a,b)=M(a,b)

如果令 a^\prime=\frac{a+b}{2},b^\prime=\sqrt{ab}

那么 M(a,b)=M(a^\prime,b^\prime)

\begin{align}\frac{\partial}{\partial a}M(a,b)&=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial a^\prime}M(a^\prime,b^\prime)+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{a}}\frac{\partial}{\partial b^\prime}M(a^\prime,b^\prime)\\&=\frac{M}{2a}+\frac{a-a^\prime}{2a}\frac{\partial}{\partial a^\prime}M(a^\prime,b^\prime)\end{align}

根据这一递推关系可以导出Schumacher关于椭圆弧长的公式,我们把它留给有兴趣的读者作为练习。


[注:Schumacher可以借一己之力推出Gauss手稿中的一个命题,功力也是十分深厚的(按Schumacher自己的说法,他还是受到1804年Philosophical Transaction上一篇文章的影响,而那篇文章说的正是Landen变换)。根据高木贞治《近世数学史谈》第十六章的记载,Abel的一篇关于天体力学的稿件曾经被Schumacher退回,原因就是Schumacher发现了Abel文章中的根本性的错误]


---我们在这里提过 K(k),K(\sqrt{1-k^2}) 的Wronsky行列式是 \frac{C}{k(k^2-1)} 。我们现在来确定常数 C 的值。我们上面已经确定了 K(\sqrt{1-k^2}),k\rightarrow 0^{+} (及其一阶导数)的渐进特性。我们又知道当 k\rightarrow 0 , K(k)\sim1+\frac{1}{4}k^2 。所以Wronsky行列式在 k\rightarrow 0^{+} 时趋于 -\frac{2}{\pi k} ,从而有 C=\frac{2}{\pi}

Gauss在所藏Euler变分法著作的最后一页上写着以下内容[Gauss全集第八卷,98页]:

Theorema Elegantissimum

这和我们上面的计算的Wronsky行列式本质上是一回事(为什么?)。作者在查阅资料时注意到,日本方面的数学史资料(见第14回数学史シンポジウム)是提过Gauss的这个定理的,文章作者明确写着他不明白Gauss的这个定理与Euler的变分法著作有什么关联。但如果我们看一看Euler著作的目录,我们就会明白,Euler这本变分法著作的第一个附录正是关于弹性曲线的附录[Euler曾经利用变分法来研究弹性曲线],而Gauss的定理正是弹性曲线的性质

\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}\cdot\int_{0}^{1}\frac{x^2\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{\pi}{4}

的自然推广(只要令Gauss定理中的 \varphi=45^{\circ} )[也许Gauss在用这种方式向Euler致敬?]。


Euler已经知道,如果 k 的值接近于1,那么利用级数来计算 q,K,L 的值必然会十分吃力,因为对应的级数收敛速度非常缓慢。那么我们如何计算级数在 k=1 附近的值呢?

Euler的方法从 q 满足的微分方程出发,我们也可以把这个方法搬到 K 的计算上去。我们注意到, K(\sqrt{1-k^2}) 满足微分方程

k^2\frac{\mathrm{d}^2K}{\mathrm{d}k^2}+k\frac{(3k^2-1)}{(k^2-1)}\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}k}+\frac{k^2}{k^2-1}K=0

k\rightarrow0 时方程可以近似为Cauchy-Euler equation

k^2\frac{\mathrm{d}^2K}{\mathrm{d}k^2}+k\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}k}=0

这个方程的解一组基是 1,\log k 。因此,我们可以猜测 K(\sqrt{1-k^2})\approx C_1+C_2\log k , C_1,C_2 是待定常数。Euler进一步假定:

K(\sqrt{1-k^2})= C_1(1+Ak+Bk^2+\cdots)+C_2(1+\alpha k+\beta k^2+\cdots)\log k

这正是所谓的微分方程求解的Frobenius Method的雏形。


下一步是计算展开式中的系数。其他系数[的值或之间的关系]可以通过代回原微分方程得到,但是系数 C_1 是不能用待定系数法求得的。Euler仍然利用他那令人望尘莫及的计算能力(比如说,取幂级数表示前十项,每项计算到小数点后12位)归纳出了系数 C_1 的值[并且证明了自己的结论!](注:Euler的文章中一直关注的都是  q 而非 K ,不过从 K 的计算可以推知 q 的相关计算,反过来也成立)。


我们可以用AGM走一条更简洁的路。我们已经得到猜测,当 x\rightarrow 0^{+} 那么我们有

\frac{1}{M(1,x)}=C_1+C_2 \log x+o(1),\, C_2=-\frac{2}{\pi}

但是 M(1,x)=\frac{1+x}{2}M(1,\frac{2\sqrt{x}}{1+x}) ,这样我们有

C_1+C_2 \log x+o(1)=\frac{2}{1+x}\left(C_1+C_2 \log \frac{2\sqrt{x}}{1+x}+o(1)\right)

整理后我们有

C_1+2C_2\log2+o(1)=0

那么我们就得到了如下结论:


命题:x\rightarrow 0^{+}

我们有
\frac{1}{M(1,x)}=\frac{2}{\pi}\, \log \frac{4}{x}+o(1)

这一结论的重要性并不下于Gauss 1799年5月30日的发现,至于Gauss是如何发现这一结论的,我们恐怕永远也搞不清楚了。

编辑于 2018-01-12

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