无穷大等于几——从音乐到量子论

“无穷大”作为一个数学概念，在历史上引发过无数困惑和争辩，但我们实在无法回避它，因为它以种种形式如此普遍地出现在每一个角落。

这些形式当然也不局限于形式化的数学，它与我们寓居的客观世界有着千丝万缕的联系，今天的混乱博物馆将会引荐其中一个小小的案例，它从最基本的音乐出发，带着种种佯谬，直达认知的边缘。

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－文字稿－

学过乐器的人都知道，通常的乐器发出一个乐音，并不是某个单独频率的声音，而是若干个频率声音的叠加——其中有一个基础的低频率声音，叫做基频，其余声音的频率是它的整数倍，叫做泛音——那么根据频率和波长的关系，不难想到，以基频的波长为1，泛音列的波长就是1/2、1/3、1/4、1/5……

在数学上，将一个序列累加起来叫做级数，将这个泛音列的波长无穷延续下去加起来，就是著名的调和级数了——它将给我们带来一些相当反直觉的东西。

比如看下面这道力学题：先在地上摆一块砖，然后在它下面塞一块完全相同的砖，偏斜一点儿但使其不倒。试问如此不断地在最下方塞砖，第一块砖能被送到多远处？——答案有些意外：无穷远。

解答这个问题要比看上去来得简单：要使砖摞不倒，每块砖的左边缘不得超出上方所有砖的共同重心，那么简单计算可知，第一块砖可以超出第二块砖1/2，第二块砖可以超出第三块砖1/4，第三块砖可以超出第四块砖1/6，第四块砖可以超出第五块砖1/8——那么我们需要的答案就刚好是半个调和级数。

而要证明调和级数无穷大也非常简单，最简单的是比较法：从调和级数的第三项开始，每2、4、8、16、32……项合并一组，会发现每一组都大于1/2，那么调和级数就比无穷个1/2更大，当然自己也是无穷大，这样的级数是发散级数。

相比其它发散级数，调和级数发散得极其慢，每秒累加10次，本期节目可以累加近3000次，都不会超过9，但是另一方面，调和级数又比一般级数发散得更坚定。

这么说是因为在数学上，我们有时要给发散级数强行求和。比如1-1+1-1+1-1……这个级数虽然不至于无穷，但它总在1和0之间徘徊，不会收敛于某个固定值，因此也是发散的。为了给它求和，我们会平均一下求期望，得到1/2这个结果。

而有些发散更坚定的级数，比如1-2+3-4+5-6+7-8……连数学期望也会无穷，就要想别的办法了。

为此，我们先给每一项都乘以1——这当然不会有什么变化。或者再给那个1加一个幂次，也不会有什么变化，然后作一点微小的工作：将这个新级数的通项看作一个幂。其中，an就是那些+1、-2、+3、-4，x则是一个比1小，但无穷趋近于1的数——这看起来不会影响级数的和，但已经足以让这个发散级数收敛，最后，我们算出这个级数的和是1/4。

像这样给发散级数强行求和的方法很多，一个比一个复杂，一个比一个强大，但是调和级数太坚定了，这些办法几乎都不可用，我们需要一种更加高深的“拉马努金求和法”。

这个求和法高深得无法介绍，它能让全体自然数的和收敛于-1/12，也能让调和级数收敛于欧拉-马斯刻若尼常数，我们知道即可，不用考虑这是什么。但是我们需要了解，这些看起来摸不着头脑的东西并不是数学家闲极无聊闹着玩儿，而是有着相当具体的实践价值：

在量子物理中，一个粒子在运动时可能有无限多的小动作，它们的影响虽然各不相同，但叠加起来就像调和级数这样难以收敛，用这些奇奇怪怪的强行求和法，却能相当准确地计算出量子的行为，我们将此称为重整化，这令人深感怀疑，在数学上的无限和现实中的无限之间，宇宙还留有一些奇妙的悬念。