麦克斯韦方程组与狭义相对论

麦克斯韦方程组是一个非常神奇的存在,在狭义相对论被接受之后,以前牛顿时期的大多数理论都需要修改,可是物理学家却发现麦克斯韦方程组和狭义相对论却是完美契合的,并不需要做出任何修改。

麦克斯韦方程组可以写作四个方程。

这四个方程就把所有的电磁学规律总结了。

用通俗的语言表述这四个方程就是:E为电场强度,B为磁感应强度, \epsilon_{0} 为常数

1. E通过任意闭合曲面的通量正 = 曲面内的电荷量除以 \epsilon_{0}

2. E沿一条闭合曲线C的环流 = 通过曲线C围住的那个曲面S上B通量的变化率

3. B沿一条闭合曲线C的环流 = 曲线C围住的曲面S上E通量的变化率 + S上电流的通量除以 \epsilon_{0}

4. B通过任意闭合曲面的通量乘以光速平方= 0

这四个方程组其实就包含了电磁场的所有规则了。

在这里我们先不去具体理解这四个方程组的含义。这篇的主要目的不是详细讲述麦克斯方程组的内容,而是想阐述它与相对论的关系。


先回忆一下高中的电磁知识。

一个电荷在它的周围有一个电场E。而电荷周围的电场强度E与距离平方成反比。

运动的电荷会产生一个磁场B,遵循右手定律。

所以,一个电荷在电磁场内受到的力分为电场和磁场两部分。

磁场,有一个特别的性质,就是在其中的电荷只有当在运动的时候才会受力,而静止的电荷就不会受力。

我们来看一个典型的电磁现象。

在如图的电线中,在相同的线段内,正负电荷数相等,而负电荷静止,正电荷有速度v,所以周围的电场强度为零,但是周围有一个磁场B,所以当一个正电荷在电线周围以速度v 运动,根据计算我们知道它会受到一个磁场造成的力,这个力朝向电线方向。

但是,如果我们换一个参考系,如图,那么在这个参考系里,正电荷是静止的,负电荷以速度v朝相反方向运动,因为正电荷是静止的,所以就算有磁场存在,那么它也不会受到磁场力的作用,那么此时它所受到的那股朝向电线的力又是从哪里来的呢?


这时候,我们就要考虑相对论效应了。

有两根带电的电棒,静止的时候,单位长度下它们带的电荷量是相等的。

但是,当其中一根有速度v的时候,根据相对论的尺缩现象,我们可以计算得到,运动的电棒长度变短了,但是电荷是标量不会随参考系变换,所以它的带电量不会变化,所以在静止参考系里的人看来,运动的电棒长度变短,但是单位长度带电量增多。

同理,本来不带电的一根电线,当其中的负电荷有了速度v之后,它的中段就相当于带了负电荷。

所以,前面那个实验里面,那个静止的正电荷就受到了一个电线上所带负电荷的吸引力。

于是,在前一个参考系,负电荷受到的是磁场力,可是在另一个参考系里面,就变成了受到了电场力。

就是说同一个力,我们既可以用麦克斯韦电磁学来解释,同样的也可以用相对论效应来解释。

(具体定量的计算可以参考费恩曼物理学讲义13章)

这里,我们其实就可以明白,磁场其实可以看做电场因为相对论效应而产生的修正项。


首先我们用相对论的观点来看待。

在相对论里,场会随参考系变化而变化,同一个电场在不同的参考系里是不同的。(这里就不定量的证明了)

这就导致了一个现象。

在电场内同一位置有不同速度的电荷,在电场里受到的力是不相同的。


而我们再用电磁学的角度来看待。

在麦克斯韦方程组里(那个年代还没有相对论),所以电场是不会随着参考系变化而变化的。但此时我们要多考虑一个东西就是磁场。

于是同样,在这个电磁场内,同样会因为电荷运动速度不同,而受到的力不同。


这就是为什么麦克斯韦方程组可以和相对论相融洽。虽然那个年代没有相对论,但电场的相对性效应在这里被用磁场巧妙的表示出来了。

编辑于 2018-04-07

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