有类型 λ 演算 à la Church 学习笔记-5（λ立方体的强正规性）
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对于一个伪项 M ，如果不存在从 M 开始的无限归约，那么我们称 M 是强正规（strongly normalizing）的，记为 \text{SN}(M) 。
定义1
设 \lambda \text{S} 是一个PTS，如果 \lambda \text{S} 中所有的合法项都是强正规的，即 \Gamma \vdash A:B \Rightarrow \text{SN}(A)\ \&\ \text{SN}(B) ，那么我们称 \lambda\text{S} 系统是强正规的，记为 \lambda \text{S}\vDash \text{SN} .
如欲证明整个 \lambda 立方体都是强正规的，只需证明 \lambda \text{C} 是强正规的就可以了。而 \lambda \text{C} 的证明可以分为两步：
（1） \lambda\omega \vDash \text{SN}\Rightarrow \lambda \text{C}\vDash \text{SN} ,
（2） \lambda\omega \vDash \text{SN} 。
PTS的强正规性证明比较繁琐，这份笔记忽略了绝大部分证明过程。因为有很多重要的定义，有助于理解函数式程序语言，所以我把定义和不带证明过程的定理抄录在这里。
\lambda\omega \vDash \text{SN}\Rightarrow \lambda \text{C}\vDash \text{SN} 的证明（2-14）
定义2
- \mathcal{T}_i = \{ M\in\mathcal{T} \mid \sharp(M) = i\}, \mathcal{T}_{i,j}=\mathcal{T}_i \cup \mathcal{T}_j, \mathcal{T}_{i,j,k}=\mathcal{T}_i \cup \mathcal{T}_j \cup \mathcal{T_k}, \dots
- 设 A\in \mathcal{T} ，在 \lambda \text{C} 中，我们使用下列术语：
- A 是一个种类（kind） \Leftrightarrow \exists \Gamma [\Gamma \vdash A:\square] \Leftrightarrow \sharp(A) =2
- A 是一个构子（constructor） \Leftrightarrow \exists \Gamma, B [\Gamma \vdash A:B:\square] ，此时 \Leftrightarrow \sharp(A) =1
- A 是一个类型（type） \Leftrightarrow \exists \Gamma [\Gamma \vdash A:*] ，此时 \Leftrightarrow \sharp(A) =1
- A 是一个对象（object） \Leftrightarrow \exists \Gamma, B [\Gamma \vdash A:B:*] \Leftrightarrow \sharp(A) =0
- 若 A\equiv \square ， \Leftrightarrow \sharp(A) =3
定义3
映射 \rho:\mathcal{T}_{2,3}\to\mathcal{T} 定义如下：
- \rho(\square) = *
- \rho(*)=*
- \rho(\Pi x:A.B) = \rho(A)\to\rho(B), 如果 \sharp(A)=2
- \rho(\Pi x:A.B) = \rho(B), 如果 \sharp(A)\neq2
- \rho(\lambda x:A.B) = \rho(B)
- \rho(B A) =\rho(B)
如果 \sharp(A)\in\{2,3\} ，那么 \rho(A) 是有定义的，且 FV(\rho(A))=\varnothing .
引理4
- \Gamma \vdash_{\lambda\text{C}} A:\square \Rightarrow \vdash_{\lambda\omega} \rho(A):\square.
- 设 A\in\mathcal{T}_{2,3} 且\sharp(a) = \sharp(x)，那么\rho(A[x:=a])\equiv \rho(A).
- 设 A\in\mathcal{T}_{2,3} 为合法，且 A\twoheadrightarrow_\beta B ，那么 \rho(A)\equiv \rho(B) .
- 设 \Gamma \vdash_{\lambda C} A_i:\square, i=1,2. 那么 A_1 =_\beta A_2 \Rightarrow \rho(A_1)\equiv \rho(A_2) .
证明：
- 对 A:\square 的生成使用归纳。情况一： \Gamma \vdash_{\lambda C} A:\square 是 \Gamma', x:C\vdash_{\lambda C} A: \square ，来自于 \Gamma' \vdash_{\lambda C} A:\square 且 \Gamma'\vdash_{\lambda C} C:s ，使用归纳假设可知 \vdash_{\lambda\omega} \rho(A):\square. 情况二： \Gamma \vdash_{\lambda C} A:\square 是 \Gamma \vdash_{\lambda C} (A_1A_2):B[x:=A_2] ，来自于 \Gamma \vdash_{\lambda C} A_1 :(\Pi x:C.B); \Gamma \vdash_{\lambda C} A_2 :C. 要么 B\equiv \square ，根据上一次笔记中使用的引理19，可知这是不可能的。要么 B\equiv x, A_2 \equiv \square ，这会导致 \square : C ，也不可能。
- 对 A 的结构做归纳。
- 对 \twoheadrightarrow 关系做归纳。
- 从3可证。
接下来我们开始定义映射 \tau ，这需要借助一个特殊的类型为 * 的变量 0 . 我们还需要定义类型的典型常量（canonical constants）。因此我们还需要设定一个语境 \Gamma_0 ，从中可以推出所有类型都有栖居者（inhabitant）。
定义5
- \Gamma_0 是含有下列两个判断的 \lambda\omega 语境： 0:*,c:\bot ；其中 \bot \equiv \Pi x:*.x
- 若 \Gamma\vdash_{\lambda\omega} B : * ，那么我们定义 c^B 为 cB
- 若 \Gamma\vdash_{\lambda\omega} B : \square ，那么我们归纳地定义 c^B 如下：
- c^* \equiv 0
- c^{B_1\to B_2} \equiv \lambda x:B_1.c^{B_2}
引理6
若 \Gamma\vdash_{\lambda\omega} B : s 那么 \Gamma_0,\Gamma\vdash_{\lambda\omega} c^B:B.
证明略。
定义7
- 映射 \tau:\mathcal{T}_{1,2,3}\to\mathcal{T} 定义如下：
- \tau(\square) = 0
- \tau(*) = 0
- \tau(^\square x) =\ ^\square x
- 若 \sharp(A)=2, \tau(\Pi x:A.B) = \Pi x:\rho(A).\tau(A)\to\tau(B).
- 若 \sharp(A)=1, \tau(\Pi x:A.B) = \Pi x:\tau(A).\tau(B).
- 若 \sharp(A)=0, \tau(\Pi x:A.B) = \tau(B).
- 若 \sharp(A)=2, \tau(\lambda x:A.B) = \lambda x:\rho(A).\tau(B).
- 若 \sharp(A)\not=2, \tau(\lambda x:A.B) = \tau(B).
- 若 \sharp(A)=0, \tau(BA) = \tau(B).
- 若 \sharp(A)\neq 0, \tau(BA) = \tau(B)\tau(A).
2. 将映射扩展到伪语境上：
- \tau(^*x:A) =\ ^* x:\tau(A)
- \tau(^\square x:A) =\ ^\square x:\rho(A),\ ^*x:\tau(A)
- 设 \Gamma\equiv x_1:A_1,\dots,x_n:A_n 为伪语境，那么 \tau(\Gamma) = \Gamma_0, \tau(x_1:A_1),\dots(x_n:A_n)
通过对 A 的结构进行归纳，可知如果 A\in\mathcal{T}_{1,2,3} ，那么 \tau(A) 是存在定义的，且 ^*x\not\in FV(\tau(A))
引理8
- 设 B\in\mathcal{T}_{1,2,3} ，且 \sharp(a)=\sharp(x) ，那么如果 x \equiv\ ^\square x ，则有 \tau(B[x:=a])=\tau(B)[x:=\tau(a)] ，如果 x \equiv\ ^* x ，则有 \tau(B[x:=a])=\tau(B) 。
- 如果 A\in\mathcal{T}_{1,2,3} 是合法的，且 A\twoheadrightarrow B ，那么 \tau(A)\twoheadrightarrow \tau(B) .
证明略。
引理9
设 \Gamma \vdash _{\lambda C} B:\square 或 B\equiv \square ，则有 \Gamma \vdash_{\lambda C} A:B \Rightarrow \tau (\Gamma)\vdash_{\lambda \omega} \tau(A):\rho(B).
证明略。
下面我们开始定义第三个伪项上的部分映射。
定义10
映射 [[-]]:\mathcal{T}_{0,1,2}\to\mathcal{T} 定义如下：
- [[*]]=c^0
- [[^*x]] =\ ^*x
- [[^\square x]] =\ ^*x
- 如果 \sharp(A) =2, [[\Pi x:A.B]]=c^{0\to 0 \to 0}[[A]]([[B]][^\square x:=c^{\rho(A)}][^*x:=c^{\tau(A)}])
- 如果 \sharp(A) \not=2, [[\Pi x:A.B]]=c^{0\to 0 \to 0}[[A]]([[B]][^*x:=c^{\tau(A)}])
- 如果 \sharp(A) =2, [[\lambda x:A.B]]=(\lambda z:0.\lambda^\square x:\rho(A).\lambda^*x:\tau(A).[[B]])[[A]]
- 如果 \sharp(A) \neq 2, [[\lambda x:A.B]]=(\lambda z:0.\lambda^*x:\tau(A).[[B]])[[A]]
- 如果 \sharp(A) =2, [[BA]] = [[B]]\tau(A)[[A]]
- 如果 \sharp(A) \not =2, [[BA]] = [[B]][[A]]
命题11
\Gamma \vdash_{\lambda C}A:B \Rightarrow \tau(\Gamma) \vdash_{\lambda\omega} [[A]]:\tau(B).\\
引理12
设 A,B\in T ，那么
- x\equiv\ ^*x \Rightarrow [[A[^*x:=B]]] \equiv [[A]][^*x:=[[B]]]
- x\equiv\ ^\square x \Rightarrow [[A[^\square x:=B]]] \equiv [[A]][^\square x:=\tau(B),^*x:=[[B]]]
引理13
设 A,B\in\mathcal{T}_{0,1,2} ，那么
A\to B \Rightarrow [[A]]\twoheadrightarrow_{\not=0}[[B]] \\
其中 \not=0 表示归约的步数不为0。
定理14
\lambda\omega \vDash \text{SN}\Rightarrow \lambda \text{C}\vDash \text{SN}
推论15
在直觉主义算数系统海廷算数（HA）中，我们可以证明：
\lambda\omega \vDash \text{SN}\Leftrightarrow \lambda \text{C}\vDash \text{SN}\\
\lambda\omega \vDash \text{SN} 的证明步骤
- 定义映射 \mid -\mid:\mathcal{T}_0\to \Lambda ，使得 \Gamma\vdash_{\lambda\omega} A:B :*\Rightarrow \text{SN}(|A|) .
- 证明 \Gamma\vdash_{\lambda\to} A:B :*\Rightarrow \text{SN}(A) .
- 证明 \Gamma\vdash_{\lambda\omega} A:B :\square \Rightarrow \text{SN}(A) .
- 证明 \Gamma\vdash_{\lambda\omega} A:B :*\Rightarrow \text{SN}(A) .
- 证明 \Gamma\vdash_{\lambda\omega} A:B\Rightarrow \text{SN}(A)\ \&\ \text{SN}(B) .
具体细节详见 Barendregt 的原书。
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