二阶常系数齐次线性递推数列
科普，写给高考学生看的，因此只写二阶的情形
我们考虑递推式：
a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}
其中 n\in\mathbb{N}^{*} ， c_{1},c_{2} 是常数， c_{2}\ne0
这是一个二阶常系数齐次线性递推数列
我们把 x^{2}=c_{1}x+c_{2}
叫做递推式a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}
的特征方程，而它的两个根 \lambda_{1},\lambda_{2} （可能有重根）叫做该递推关系的特征根
这里的特征方程 x^{2}-c_{1}x-c_{2}=0
它实质上是矩阵 \left[\begin{array}{cccc} c_{1} & c_{2}\\1& 0\end{array}\right] 的特征多项式
\lambda_{i}^{2}=c_{1}\lambda_{i}+c_{2} ，两边同乘以 \lambda_{i}^{n-2} ，得 \lambda_{i}^{n}=c_{1}\lambda_{i}^{n-1}+c_{2}\lambda_{i}^{n-2}
所以很显然， a_{n}=\lambda_{i}^{n} （ i=1,2 ）满足递推式 ：a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}
是它的一个特解
先考虑 \lambda_{1}\ne\lambda_{2} 这一情况
可以证明，对任意的常数 \alpha_{1},\alpha_{2}
a_{n}=\alpha_{1}\lambda_{1}^{n}+\alpha_{2}\lambda_{2}^{n}
是递推式 a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2} 的解
注意
\begin{array}{llll} c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}\\ =c_{1}\left( \alpha_{1}\lambda_{1}^{n-1}+\alpha_{2}\lambda_{2}^{n-1} \right)+c_{2}\left( \alpha_{1}\lambda_{1}^{n-2}+\alpha_{2}\lambda_{2}^{n-2}\right)\\ =\alpha_{1}\left( c_{1}\lambda_{1}^{n-1}+c_{2}\lambda_{1}^{n-2} \right) +\alpha_{2}\left( c_{1}\lambda_{2}^{n-1}+c_{2}\lambda_{2}^{n-2} \right)\\=\alpha_{1}\lambda_{1}^{n}+\alpha_{2}\lambda_{2}^{n}\\=a_{n} \end{array}
由数学归纳法即可得到， \lambda_{1}^{n},\lambda_{2}^{n} 的任意线性组合
\alpha_{1}\lambda_{1}^{n}+\alpha_{2}\lambda_{2}^{n}
是递推数列 a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2} 的解
最后一步，只需要证明该递推数列 \left\{ a_{n} \right\} 的所有解都能表示为
\alpha_{1}\lambda_{1}^{n}+\alpha_{2}\lambda_{2}^{n}
的形式，也即这是它的通解
对于给定的一组初值 a_{0},a_{1}，有
\begin{array}{llll} \alpha_{1}+\alpha_{2}=a_{0}\\ \alpha_{1}\lambda_{1}+\alpha_{2}\lambda_{2}=a_{1}\\\end{array}
这是个关于 \alpha_{1},\alpha_{2} 的二元一次方程组
它的系数矩阵的行列式为 \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 \\ \lambda_{1} & \lambda_{2} \end{array}\right|
\lambda_{1}\ne\lambda_{2} 时，行列式不为0
从而这个二元一次方程组存在唯一解
也即给定一组（2个）初值 a_{0},a_{1}，就能唯一确定系数 \alpha_{1},\alpha_{2}
以上即证明，对任意的常数 \alpha_{1},\alpha_{2}
a_{n}=\alpha_{1}\lambda_{1}^{n}+\alpha_{2}\lambda_{2}^{n}
是递推数列 a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2} 的通解
再考虑，当 \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda 为重根时
很显然， a_{n}=\lambda^{n}满足递推式 ：a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}
是它的一个特解
即 q^{n}=c_{1}q^{n-1}+c_{2}q^{n-2}
由于 \lambda 是x^{2}=c_{1}x+c_{2} 的二重根
所以它当然也是 x^{n}=c_{1}x^{n-1}+c_{2}x^{n-2} 的二重根
x^{n}=c_{1}x^{n-1}+c_{2}x^{n-2} 两边对 x 求导，得
nx^{n-1}=c_{1}\left( n-1 \right)x^{n-2}+c_{2}\left( n-2 \right)x^{n-3}
则 \lambda 是 nx^{n-1}=c_{1}\left( n-1 \right)x^{n-2}+c_{2}\left( n-2 \right)x^{n-3} 的根
两边乘以 x
nx^{n}=c_{1}\left( n-1 \right)x^{n-1}+c_{2}\left( n-2 \right)x^{n-2}
\lambda 也是 nx^{n}=c_{1}\left( n-1 \right)x^{n-1}+c_{2}\left( n-2 \right)x^{n-2} 的根
所以此时， a_{n}=n\lambda^{n} 也是递推式 ：a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2} 的一个特解
（这里注意思考一个问题， \lambda 是x^{2}=c_{1}x+c_{2} 的二重根这一结论在推导中起到了什么作用）
这样，由数学归纳法可得， \lambda^{n} 和 n\lambda^{n} 的任意线性组合
\left( \alpha_{1}+\alpha_{2}n \right)\lambda^{n}
是递推数列 a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2} 的解
最后一步，也只需要证明该递推数列 \left\{ a_{n} \right\} 的所有解都能表示为
\left( \alpha_{1}+\alpha_{2}n \right)\lambda^{n}
的形式，也即这是它的通解
对于给定的一组初值 a_{0},a_{1}，有
\begin{array}{llll} \alpha_{1}=a_{0}\\ \alpha_{1}\lambda+\alpha_{2}\lambda=a_{1}\\\end{array}
这是个关于 \alpha_{1},\alpha_{2} 的二元一次方程组
它的系数矩阵的行列式为 \left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ \lambda & \lambda \end{array}\right|
显然行列式不为0
从而这个二元一次方程组存在唯一解
也即给定一组（2个）初值 a_{0},a_{1}，就能唯一确定系数 \alpha_{1},\alpha_{2}
以上即证明，对任意的常数 \alpha_{1},\alpha_{2}
\left( \alpha_{1}+\alpha_{2}n \right)\lambda^{n}
是递推数列 a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2} 的通解
