什么是热带几何？
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作者：Eric Katz
译者：Hyacinth
原文链接：https://www.ams.org/publications/journals/notices/201704/rnoti-p380.pdf
这一份笔记是为了回答“什么是热带几何”这个问题而写成的。这个问题可以被从两个方向来理解：关于这个研究领域你能告诉我一些什么，和为什么这个领域拥有这个不寻常的名字。来回答第二个问题，热带几何这个名字是被用来纪念巴西计算机科学家Imre Simon的。这个名字被复杂化成了热带几何，因为Imre Simon住在圣保罗，并且经常在南回归线上来回跑。他的工作是否是“热带的”取决于他在做这份工作时是在家还是在办公室。
热带几何的主要目标是将关于代数簇的问题转换为关于多面体链（polyhedral complexes）的问题。一个叫做“热带化”的过程能够把一个多面体链联系在一个代数簇上。一个多面体链是一个组合学上的物件，其内蕴了一些关于原来那个代数簇的几何信息。除了热带化外，还有别的构建出类似多面体链的方法，而且这些多面体链们本身也值得被研究和学习。我们会阐述三种方法：合成法，赋值法，和退化理论法。
合成法（Synthetic Approach）
热带几何是从热带代数之中产生的，而热带代数本身是从计算机科学的问题中衍生出来的。在本文中，热带几何能被考虑成在热带半域(\mathbb{R}\cup\{\infty\},\oplus,\otimes)上的代数几何，其中两个运算的定义为：$$a\oplus b:=\min(a,b),\quad a\otimes b=a+b$$ 我们可以在经典数学中发现热带式的类比，并且定义热带多项式，热带超平面，热带代数簇。举例来说，一个度数为2的热带多项式将会拥有如下形式：$$\min(a_{20}+2x,a_{11}+x+y,a_{02}+2y,a_{10}+x,a_{01}+y,a_{00})$$ 一个热带多项式的零点集被定义为是那些使得这个热带多项式的至少两个条目的最小值满足的点。在上述例子中，其零点集将会是那些(x,y)\in (\mathbb{R}\cup\{\infty\})^2，使得存在不同的指标(i_1,j_1),(i_2,j_2)，从而对所有指标(i,j)满足$$a_{i_1j_1}+i_1x+j_1y=a_{i_2j_2}+i_2x+j_2y\leq a_{ij}+ix+jy$$ 这些东西看起来并不像是它们的传统对应，而是不同组合类型的多面体链。（译者语：这里本来应该有几张图片来展示热带直线和热带曲线的样子，不过因为本文要发表到不同的平台并且这些平台支持的是不同的图片插入系统（而无法直接导入我编译出来的pdf），所以我就把此处的图片省略了。感兴趣的同学可以去看原文中的figure 1）
我们回忆一个\mathbb{R}^n中的多面体链是多面体（一个多面体是由线性等式和线性不等式切割出来的集合）的并集，使得其中的每一个多面体的每一个面仍然属于这个多面体链，并且任意两个其中的多面体的交集等于这两个多面体的某一个面（可以是空集，因为空集是任意一个多面体的一个面）。我们对由热带多项式零点集生成的多面体链知道得更多：它们是热带代数簇，也就是说，它们是整的，加权的，平衡的（balanced）多项式链。这里整的是指定义中的线性等式和不等式都拥有整系数，加权的是指它们的最高维的多面体被赋予了一个正整数的权（在上述例子中，所有的权都是1），而平衡的是指那些加在余维度为1的面上的权满足一定的平衡关系，这种关系在一维时说的是，那些给定一个顶点以后沿着边而发散出去的原始整数向量（primitive integer vectors），乘以那条边的权重以后，其和为0。这可以被想象成是物理力学中的零张力条件。
热带几何的第一个重大结果是Grigory Mikhalkin在2005年证明的如下结论：经过给定3d-1+g在一般位置的点的维度为d而亏格为g的平面曲线的数量可以通过计算含重数的热带曲线来完成。这就把我们引向了抽象热带曲线的定义，它们是包含了额外信息的图。很多早期的热带几何进展都是在发现经典代数曲线定理和计数几何定理的热带类比上。
赋值理论法（Valuation-Theoretic Approach）
赋值理论法是另一种用来学习热带几何的方法，其第一次是被Mikhail Kapranov的未发表的1990年代的手稿之中提出，但是其起源可以追溯到George Bergman的工作（1971年）和Robert Bieri与J. R. J. Groves的工作（1984年）。赋值理论法是主要将热带代数簇看作是代数簇的阴影（shadow of algebraic variety）。我们会首先描述一个读者们更为熟悉，并且更加解析的赋值理论法的，关于对数极限集合（logarithmic limit sets）的版本。对于t>0，考虑映射L_{t}:(\mathbb{C}^*)^n\to \mathbb{R}^n，其中$$L_t(z_1,...,z_n)=(\log_t(|z_1|),...,\log_t(|z_n|))$$ 一个子代数簇X\subseteq (\mathbb{C}^*)^n在L_t下的像被称为一个“阿米巴”（amoeba）【译者注：这个短文系列有专门介绍阿米巴的一篇文章，感兴趣的读者可以自己去找（这也是这个系列的第一篇）】。在豪斯多夫极限下，\lim_{t\to\infty}L_t(X)将会成为一个类似于分段线性的东西，被称为一个多面体扇（polyhedral fan）。当我们学习一家族被t为参数生成的代数簇时，也就是说，我们考虑X_t\subseteq (\mathbb{C}^*)^n，其中t>0时，如果取极限\lim_{t\to\infty}L_t(X_t)，则我们会获得一个结构更为丰富的多面体链。
现在考虑赋值法更为代数的版本。让\mathbb{K}是一个代数闭域，并且拥有一个非阿基米德赋值v:\mathbb{K}^*\to G\subseteq \mathbb{R}，其中G是一个加性群。这里\mathbb{K}^*被定义为\mathbb{K}^*:=\mathbb{K}\backslash \{0\}，而非阿基米德赋值则是一个赋值满足 $$v(xy)=v(x)+v(y)$$ $$v(x+y)\geq \min(v(x),v(y))$$ 一个例子是\mathbb{K}=\mathbb{C}\{\{t\}\}，形式Puiseux级数所构成的域。这个域是形式洛朗级数的代数闭，并且其元素f(t)\in \mathbb{X}可以写成是拥有复系数和有界共同分母的有理数指数的形式幂级数：$$f(x)=\sum_{i=l}^\infty c_it^{i/N}, c_l\neq 0, c_i\in \mathbb{C}$$在上式中N\in \mathbb N是有理数指数的有界共同分母。然后我们便可以定义\mathbb{K}上的赋值为v(f(x))=l/N，最小的非零系数项的指数。
一个代数环面(\mathbb{K}^*)^n【译者语：代数甜甜圈（暴论）】是有限多个\mathbb{K}^*的笛卡尔积，并且它应该被考虑为是(S^1)^n的类比，其中S^1=\{z\in \mathbb{C}:||z||=1\}。一个(\mathbb{K}^*)^n的子代数簇是一堆以x_1,...,x_n为变量的形式洛朗级数的公共零点集。于是在\mathbb{K}上的代数簇X的热带化则被定义为是\text{Trop}(X)=\overline{V(X)}，也就是在赋值映射的乘积V:(\mathbb{K}^*)^n\to \mathbb{R}^n下X的像的拓扑闭包。这一方法可以细化到我们之前介绍的合成法，而我们将通过一个例子来展示这一过程。考虑子代数簇X\subseteq (\mathbb{K}^*)^2，其定义式为x+y+1=0。则我们能够如何描述(x,y)\in X的赋值？让我们将定义式中的x,y,1写成Puiseux级数的形式，也就是说我们考虑$$\sum_{i=1}^\infty c_it^{i/N}+\sum_{i=m}^\infty d_it^{i/N}+t^0=0$$ 如果上述等式成立，则任意指数的系数之和必须为0。更加准确来说，最小指数的系数之和必须为0，也就是说，至少存在两个这样的非零系数。这告诉我们 $$\min(v(x),v(y),v(1))$$至少将会被两个条目满足。于是，\text{Trop}(X)被包含在了热带超平面x\oplus y\oplus 0当中，其中0=v(1)。而另一个方向的包含关系则是被Kapranov的一个定理所证明了，并且对于所有超平面成立。
这个赋值法可以让我们考虑热带代数簇，而不只是热带超平面。根据David Speyer的结果（2005），这样生成的热带代数簇同样也是整，加权，和平衡的多面体链。更多的，它们可以通过反射X的在相交理论中的类（class in intersection theory）来捕捉到原先的代数簇X的几何性质，并且在合适的光滑条件下，一些X的上同调性质。在这个意义下，我们可以考虑\text{Trop}(X)是X的阴影。计算代数簇的热带化是一个非常有趣的，需要用到Grobner基技巧的问题。
退化理论法（Degeneration-Theoretic Approach）
热带几何与代数簇的退化（degeneration of algebraic varieties）的研究拥有十分接近的关系。在传统情况中，我们会考虑一个家族的代数簇Y_t\subseteq (\mathbb{C}^*)^n，其中t沿着一个很小的以原点为中心的圆盘\mathbb{D}变动。举例来说，这种情况将会出现在，如果你被给予了一个代数簇\mathcal{Y}\subseteq (\mathbb{C}^*)^n\times \mathbb{D}和一个投影p:(\mathbb{C}^*)^n\times \mathbb{D}\to \mathbb{D}。则Y_t是投影p的纤维限制到\mathcal{Y}上时所得到的代数簇。我们通常会考虑半稳定家族（semistable families），在这种情况下\mathcal{Y}将会是非奇异（nonsingular）的，并且纤维Y_t在t\neq 0时会是光滑的，以及Y_0将只会拥有一个很“温顺”的奇点（它们被称作是正规交叉奇点（normal crossing singularity））。Y_0的不可约单元（irreducible components）之间的交集可以被一种组合上十分有趣的方法来编译进一个多面体链\Gamma中，其被称为对偶多面体链。中心纤维Y_0被称为是纤维Y_t的退化，其中t\neq 0。
关于在一个圆盘上的家族的代数簇的学习，我们拥有一个纯粹的代数上的类比，也就是在赋值环上的概型的学习。在这里，域\mathbb{K}是在原点附近一个穿孔圆盘（punctured disc）\mathbb{D}^*上解析函数的芽所组成的域的代数类比。一个\mathbb{K}上代数簇X是一个以穿孔圆盘为家族变化的代数簇的代数类比。在合适的条件下，我们可以将X延伸到一个在\mathcal{O}上的半稳定概型\mathcal{X}，其中\mathcal{O}是\mathbb{K}的赋值环。概型\mathcal{X}是将圆盘上的家族延伸的类比。\mathcal{X}在\mathcal{O}的赋值环剩余域\kappa(\mathcal{O})的简化（reduction）X_0则是中心纤维Y_0的代数类比。在一定由Jenia Tevelev引入的条件下，\text{Trop}(X)与其对偶多面体链拥有十分紧密的联系。多面体链\text{Trop}(X)包含了关于X_0的组合性质信息。在这语境下，我们并不会对\text{Trop}(X)包含了X的几何信息而感到惊讶。在代数几何与热带几何中的组合里存在一定的张力：如果\text{Trop}(X)的组合学性质是简单的，则X的单元（components）的代数几何结构则很有可能将会是复杂而丰富的；如果X的退化的单元（components of the degeneration）是简单的，则\text{Trop}(X)的组合学性质则是丰富而能够捕捉到X的几何性质的。
我们可以尝试通过学习\mathbb{K}上退化抽象代数簇X的组合性质来把热带几何变得更加复杂。这一种方法在代数曲线的情况下被开发得最远，并且引导出了由Matthew Baker和Sergei Norine先驱出来的图上线性系统理论（theory of linear systems on graphs）。我们会尝试考虑一个在Baker的工作中借过来的例子来展示这一理论。考虑\mathbb{P}^2上一个以t为参数的家族的代数曲线：考虑在\mathbb{P}\times \mathbb{D}上一个家族的二次曲线\mathcal{X}，定义式为F((X,Y,Z),y)=0，其中$$F((X,Y,Z),t)=(X^2-2Y^2+Z^2)(X^2-Z^2)+tY^3Z$$当t\neq 0是很小的值时，这个定义出了一个光滑的平面二次曲线。当t=0时，这条曲线将会是圆锥C和两条线\ell_1与\ell_2的并集。这一个家族的总空间（total space）是奇异的（singular）但是可以通过在两条线的交集点处拉开【译者语：blow up不应该翻译为吹爆或者炸开吗（错乱）】来变为非奇异的。这将会给我们一个新的单元X_0，它将会是一条有理曲线E。这一条曲线X_0的奇点在最坏的情况下将会是类节点奇点（at worst nodal singularity），也就是说在单元的交点处，这一条曲线将会看起来是曲线xy=0。
【此处应该有图，并且被成为图2。这一幅图描述了一个把一条曲线和其对偶图联系在一起的例子。发挥自己的想象力（逃），就如同想象我那不存在的对象一般（发出单身狗的哀嚎）】
在图二中，左边是由上述方法产生的家族的中心纤维。我们可以通过把每一个不可约单元联系在一个顶点之上，而每一个X_0的类节点奇异点联系在一条边上，来形成其对偶图\Gamma。这也就给出了我们图2中右边的图。
我们可以在对偶图上定义除子为顶点的形式上的整数组合（formal integer combination）。我们存在一个概念，称之为从\mathcal{X}上的普遍纤维X上细化一个除子\mathcal{D}到一个对偶图上的除子D。实际上，我们可以弄出一大堆富有的关于图的除子的组合理论。在这里，除子的线性等价是由图上的筹码射击式的移动（chip-firing moves）【译者语：根据这个游戏的步骤，我明明很想翻译成薯片炒鱿鱼的（大雾）】来构成的，并且这一话题也在另一些领域中有被研究。对于除子D，我们可以定义秩r_1(D)为D所对应的线性系统的秩。通过一个半连续论证，这个秩r_1(D)给予我们一个X上包含D的线性系统的维度的上界。通过这个上界，我们可以用一些组合学方法来证明一些关于代数曲线的很强的结论。最近Dustin Cartwright的工作将这一方法拓展到了高维的情况。
目前热带几何的科研方向
热带几何里的科研现在正在朝着几个不同的方向进行。热带几何的基础正在被连续不断地重新翻新和改造，而且还没有完全完工。热带几何在计数几何中的应用仍然还并没有被完全覆盖，大部分都是在镜像对称这一领域。热带几何同时也给我们提供了一个上手的工具来研究Berkovich空间，一个关于完备非阿基米德域上的解析几何的理论。热带几何式的技巧可以被用在计算代数几何中。图上线性系统理论正在被应用到代数曲线的学习中。小心的使用退化方法引导出了一个丢番图几何上的结论。热带几何同时还允许我们使用几何式驱动的技巧到纯粹的组合物体中，通过其对应的热带代数簇，而这给了我们新的技巧来重新解决组合学上的老问题。热带代数粗同样也被学习着，因为它们自己本身就是有趣的组合物体。