集合论基础

什么是代数?

从小学四年级学习一元一次方程开始,你就已经开始接触这个古老而又 充满活力的学科了,但是你,能够清楚的回答这个问题吗?

代数代数,以之代数,要想说清这个,还要从数来说起。

从前有个数学家,一日他的儿子从幼儿园回来,兴奋地说:“爸爸爸爸, 我今天新学了个位数的加法呢。”

“好啊,那我考考你,3 个苹果加两个苹果是几个苹果?”

“5 个苹果。”

“3 个香蕉加 2 个香蕉呢?”

“5 个香蕉。”

“那 3 个西瓜加 2 个西瓜呢?” “啊?这个我不会唉!” “可是你前面不是都会吗?” “那是因为老师只教了苹果和香蕉的加法。”

这个故事常常被数学教育界引用,用来说明小孩子理解不了抽象思维。 而在我们看来,西瓜和苹果香蕉的确有很多不同,但是我们只考虑它们的数 量,在数量这个属性上,它们是完全可以一样的。这种属性独立于它们的几 何性质物理性质化学性质,并且具有相当的普遍性。于是我们睿智的先人专 门发明了数来描绘它们。

对的,没错,数就是用来描绘物质的数量属性的。 可能你会问,好,我承认,正整数的确是可以用来描绘物质的数量属性,

但是负数呢?小数呢?虚数呢? 这个问题的确比较刁钻,在我们刚刚引入这些数时,的确不是为了描绘物质的数量属性,虽然它们后来的确在其它领域体现了这些作用(比如交流 电的复数描述)。

那我们最初为什么会引入呢? 因为事物总是在发展变化,这就要求我们以变化的观点看待它们。你有五百个苹果,但你不会总是有这些。苹果总要腐烂,被吃掉,你也可能会买 进新的苹果,这就要求我们去考虑数的变化,于是我们就引入了运算。

为了让正整数在各种各样的运算(加减乘除,极限等)下封闭,我们一 直把数系扩充到复数。


数,与运算分不了干系。 我们为了描述物质的数量属性,引入了数;而为了描述数的运算特性,我们引入了代数。请你回忆初中的那些代数,是不是一直都是一些 abc,xyz在那运算运算运算,变形变形变形,凑配凑配凑配,而这些东西本来都是数 字承担的。

数的引入,是第一次代数革命;数字符号化,是第二次代数革命。而我 们这门课程想要讲述的,是第三次代数革命,这次革命直接把运算本身作为 研究对象,而运算的主体,早已不仅仅是数!它的内涵和影响远比第一次第 二次来得更加深远。

同时,它的抽象程度也会比以前要高出许多。对任意一个集合,只要它 能定义一个运算,它都是我们研究的对象。


于是乎,为了讲清楚它,我们要先从集合说起。 集合的基本定义就不多说了,着重介绍一下集合的笛卡尔积


笛卡尔积的直观性是容易发掘的,它就好比是把几条直线拼成一个平面 或者是一个空间一样,第一个位置是它的 x 坐标,第二个是 y 坐标。

当然啦,作笛卡尔积的这些集合也并不一定要相同,比如我们可以对 R 与 Q 做笛卡尔积,它的几何含义是平面中的一个点集,这个点集的横坐标可 以取任意实数,但是它的纵坐标只能取有理数。

有了集合,我们还要介绍映射,可能你刚开始会不习惯映射的语言,但 不久之后你就会发现这种语言的优越性。

这些与我们在高中时学到的函数定义基本一致。

下面是映射的一些例子:

投影的定义也是十分直观的,我们很容易联想到一个平面直角坐标系里 的图形对坐标轴的投影。

再给出一些定义:

因为映射的主体是元素与集合嘛,所以我们给一些特定的元素和集合起 好名字。另外,根据涉及的两个集合间的映射关系,我们给这些映射也分好 了类。

这些东西高中时都已经学过,想必不会有什么难度,但要注意这里的逆 映射与高中时学过的反函数的异同。以及那个原像的记法,也是用 f 逆,但 是这里的 f 逆接的是个集合。当它接元素时,可以把它理解成反函数。

下面再看一个定义:

映射天然具有复合,也就是说,映射这个集合,天然地可以定义乘法,这一点是极为重要的,我们也会在后面陆续看到它带来了什么。

这里给出了单射满射的一组充要条件,我们知道,f 为双射的时候是有 逆的,这个性质说明它在单射满射的时候也有一定程度的逆。

证明的话就考虑双射时为什么会有逆,把它迁移到这里来,其中要注意 单射和满射的定义是如何体现的。

f 为单射,说明 B 中有多余的元素,我们在构造 g 的时候,要想方设法 把多余的元素的像也构造出来;f 为满射的时候,A 中有多余的元素,我们在 构造 g 的时候,要想办法让那些多余的元素不成为像。

由于内容设计的原因,我们对等价关系和商集接下来才会介绍,读者前 面不了解的分划可以参见下面的定义。

我们先从等价关系开始介绍。



从这两个定义可以看出: 1.我们常说各种关系,父子关系,师生关系,兄弟关系,雇佣关系,其实可 以很容易看出,关系其实就是两个主体之间的作用。而在数学上如何描述这 种作用呢?——笛卡尔积!

2.等价关系其实就是在给集合分类,每一类的元素都会满足那三个条件。这 三个条件虽然看起来很显然,但是却可以唯一地确定出一群等价类。 再看一些例子,它们说明等价关系十分普遍:

接着来讨论等价类对集合的影响:

接下来我们给出商集的定义:

为什么我们把它叫做商集? 为了解释这个问题,请允许我带你穿越时空,回到小学的课堂上。 “老师老师,为什么要定义除法呢?” “因为除法是乘法的逆运算。” “那为什么一定要给乘法定义一个逆运算呢?它有什么意义呢?” 老师沉思良久,缓缓说到:“现在你有 8 个苹果,你要把它平均分给 4个人,这个时候你就要用到除法。”

“哇!原来是这样啊。那是不是可以说,除法就是分类的过程?” “emmm,大概吧,差不多就是这样的......” “不是大概,它就是这样”你欣喜若狂,喃喃自语,“平均分就是小学

的作商,不平均分就是现在的商集!我们给定一个分苹果的标准,分给同一 个人的苹果显然构成一个等价类!”

也的确是这样,商,商集,还有后面学到的商群,商环等都是一个分苹 果的过程。


现在我们还剩最后一个问题,如何导出运算的定义? 先想一想,你对运算了解多少?加减乘除是运算,矩阵的转置也是运算,

但前者都是有两个元素,才能做运算,后者只要一个元素就可以了。运算的 话,元素数目并不是太本质的,给你一些元素,就可以得到一个新的元素。

等下!一道灵光闪过,给一得一,这个,怎么那么像映射的定义? 原来,运算,就是一种映射!

我们这里主要考虑二元运算。


下面是运算的一些约定和性质:

很自然的,我们也可以仿造它给出 n 元映射的定义,这里就不再赘述。


写在后面的话:

1.很多人都觉得数学没有用,即便是承认它的知识作用,也不会承认它的素 养作用。但试想,假如没有了数学的熏陶,你是否会像那个幼儿园的孩子那 样,不能从苹果与香蕉中抽象出数字来?这只是数学素养的一小部分,不论 你同意与否,数学都在默默影响着你的思维。

2.我们把运算用映射表示出来的过程堪称玄妙。但如果这样解读它们,映射 就是两组事物之间的关系,运算就是事物自身与自身的关系,联系上它们也 不足为奇。但这样的解读很难不让人想到笛卡尔积——它不正可以表示关系 吗?其实,笛卡尔积是可以用映射的方法写出来的:

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