如何让数学人接受 bra–ket 记法？

防止你们用不同教科书的人打起来, 我们说:

数学上和物理上定义的内积是反的, 这里以数学中的习惯为准 (内积对第一个元素是线性的, 对第二个元素是共轭线性的).

以 \mathscr H 记 Hilbert 空间, 以 \left(\cdot,\cdot\right) 记内积.

以 V^* 记 V 的对偶空间, 以 \hat T^\dagger 记 \hat T 的共轭算子或 Hermite 转置, 以 \bar\alpha 记 \alpha 的复共轭.

以 \operatorname{\mathcal L}\left(V\right) 记全体 V\to V 的有界的线性算子.

Riesz 表现定理指出 \forall\left<z\right|\in\mathscr H^*:\exists!\left|z\right>\in\mathscr H:\forall\left|x\right>\in\mathscr H:\left<z\middle|x\right>=\left(\left|x\right>,\left|z\right>\right), 这自然地给出了 \mathscr H^*\to\mathscr H 的保范共轭同构 \left<z\right|\mapsto\left|z\right>.

(其实, 进一步地, 我们还可以研究装备 Hilbert 空间, 但这个东西在数学上更加复杂, 我们先只把眼光局限在 Hilbert 空间中.)

bra–ket 记法显示出了它第一个好看的地方: 用 \left<\cdot\middle|\cdot\right> 表示内积.

作为内积的推广, 我们定义 \mathscr H 上的共轭双线性泛函为 \mathscr H\times\mathscr H\to\mathbb C 的映射, 其对第一个元素是线性的, 对第二个元素是共轭线性的.

可以证明, 对于共轭双线性泛函 \varphi, 若 \exists C>0:\forall\left|x\right>,\left|y\right>\in\mathscr H:\left|\operatorname\varphi\left(\left|x\right>,\left|y\right>\right)\right|^2\le C\left<x\middle|x\right>\left<y\middle|y\right> (即 \varphi 是有界的), 则存在唯一的 \hat a\in\operatorname{\mathcal L}\left(\mathscr H\right) 使得 \forall\left|x\right>,\left|y\right>\in\mathscr H:\operatorname\varphi\left(\left|x\right>,\left|y\right>\right)=\left<y\middle|\hat a\middle|x\right>.

引入共轭算子时, 可以写 \forall x,y\in\mathscr H:\left<x\middle|\hat a^\dagger\middle|y\right>=\overline{\left<y\middle|\hat a\middle|x\right>}, 比较好看.

bra–ket 记法显示出了它第二个好看的地方: 用 \left<\cdot\middle|\cdot\middle|\cdot\right> 表示有界的共轭双线性泛函.

显然, 若可数集 \left\{\left|e_n\right>\right\} 是 \mathscr H 的一组正规正交基 (可数条件要求 \mathscr H 可分), 则 \sum_n\left|e_n\right>\left<e_n\right|=\mathrm{id}. 这种表示完备性的方法非常好看.

若 \hat a\in\operatorname{\mathcal L}\left(\mathscr H\right) 的特征向量集 \left\{\left|e_n\right>\right\} (已正规正交化, 可数) 是完备的, 则有谱分解 \hat a=\sum_na_n\left|e_n\right>\left<e_n\right|, 其中 \left\{a_n\right\} 为 \hat a 的点谱: \hat a\left|e_n\right>=a_n\left|e_n\right>.

难怪物理人都喜欢 bra–ket 记法, 毕竟写出 \operatorname{Pr}\left(a=a_n\right)=\left|\left<e_n\middle|\psi\right>\right|^2 (具有完备的特征向量集的自伴算子 \hat a 对应的可观测量 a 被测为 a_n 的概率) 与 \operatorname E\left[a\right]=\left<\psi\middle|\hat a\middle|\psi\right> (a 的期望) 是一件很令人开心的事情. (\left|\psi\right> 已被归一化.)

当然了, 令人开心的事情有很多. 把算子写到指数函数的宗量里去也很快乐 (因为感觉像是把一个十分复杂的东西写成了十分简单的东西).

因为 Hamilton 算子 \hat H 是有界的线性算子, 所以 -\mathrm i\hat H 天然地符合 Lipschitz 条件, 从而 Schrödinger 方程 \tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left|\psi\right>=-\mathrm i\hat H\left|\psi\right> 存在唯一解. 进一步地, 若 \hat H 不显含 t, 则其解为 \left|\psi\right>=\mathrm e^{-\mathrm it\hat H}\left|\psi_0\right>. 写成这种形式的快乐之处在于, (1) 形式简单, (2) 自然地引导我们寻求能量本征态, (3) 自然地使我们发现时间演化变换是酉的.

(同学们应该看到我把约化 Planck 常数吃了, 没办法, 自然单位制太令人快乐了.)