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球坐标与直角坐标的转换

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预备知识 球坐标系的定义, 四象限 Arctan 函数


   根据球坐标的定义,可得两种坐标之间的变换关系

\begin{align}&\begin{cases} x = r\sin \theta \cos \phi \\ y = r\sin \theta \sin \phi \\ z = r\cos \theta  \end{cases}&(1)\\\end{align}


\begin{align}&\left\{\begin{aligned}  r &= \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta  &= \arccos \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} }\\ \phi  &=  \operatorname{Arctan} (y, x)  \end{aligned}\right.&(2)\\\end{align}

其中 \operatorname{Arctan} 函数的定义见式 1 . 以及两组基底之间的变换关系
\begin{align}&\begin{cases}  \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}}  = \sin\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}}  + \sin\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}  + \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\  \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}}  = \cos\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}}  + \cos\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}  - \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\  \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}}  =  - \sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}}  + \cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}  \end{cases}&(3)\\\end{align}


\begin{align}&\begin{cases}  \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}}  = \sin \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}}  + \cos \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}}   - \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}}  \\  \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}  = \sin \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}}  + \cos \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}}   + \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}}  \\  \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}  = \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}}  - \sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}}  \end{cases}&(4)\\\end{align}


推导
   把空间中一点 P 的位矢 r \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} 分解为垂直于 xy 平面的分量 z = r\cos \thetaxy 平面的分量 r\sin \theta. 后者又可以进而分解成 x 分量 和 y 分量 x = r\sin \theta \cos \phiy = r\sin \theta \sin \phi, 这就得到了式 1
   在直角坐标系中, 有 r = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}, 代入式 1 中的三条关系,就可以很容易解出式 2 中的三条关系.
   现在推导变换关系(式 3 ).由于 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}}  , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} 都是关于 (r, \theta, \phi) 的函数,所以在考察一点 (r, \theta, \phi) 时, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} 的球坐标是 (1, \theta, \phi), 根据式 1 变换到直角坐标为

\begin{align}&(\sin \theta \cos \phi,\,\sin \theta \sin \phi,\,\cos \theta)&(5)\\\end{align}

写成矢量的形式,就是
\begin{align}&\hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}}  = \sin \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}}  + \sin \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}  + \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}&(6)\\\end{align}

至于式 3 的第二条式子,在同一个球坐标 (r,\theta ,\phi) 处, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} 的球坐标为 (1, \theta + \pi /2, \phi), 根据式 1 变换到直角坐标再化简就得到直角坐标和对应的矢量形式为
\begin{align}&(\cos \theta \cos \phi ,\,\cos \theta \sin \phi , \,- \sin \theta)&(7)\\\end{align}


\begin{align}&\hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}}   = \cos \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}}  + \cos \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}  - \sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}&(8)\\\end{align}

同理,在同一点 (r, \theta, \phi) 处, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} 的球坐标为 (1, \pi /2, \phi + \pi /2), 得到第三条式子.
   下面推导变换式 4 . 由于已经知道了变换式 3 , 且直角坐标系和球坐标系中的基底都是单位正交基,所以直接把变换式 3 中的系数写成 3 \times 3 的矩阵形式,再转置 即可得到变换式 4 中的系数矩阵.

编辑于 05-12

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