八大类型行列式及其解法

2019-12-4更新内容:

  1. 删除之前的更新,较少大家阅读的不好的体验感
  2. pdf版本和markdown版自取:
    1. pan.baidu.com/s/1211RNr
    2. pan.baidu.com/s/1AfFnGk
  3. 保留统一回复评论和解答:
    1. 三对角型行列式的解法中,用到了特征根法,大家说特征根相等以及没有特征根的时候怎么办。这个问题 强烈建议 大家去复习一下高中数列的解法,其中有一个方法叫特征方程法,也叫不动点法,这个方法说明了特征根相等的时候怎么做。三对角型行列式的解法本质就是求一个数列的通项公式。所以关于这个我就不重新写了,也不一一回复了,大家自行查阅;
    2. 一些评论提出来的错误,已修改设置精选评论,供大家参考,感谢各位的指正。有些评论其实我也没看懂问题是什么,所以没有一一回复,抱歉;
    3. 某些解法步骤有童鞋表示看不懂,我的建议是顺着文章顺序一个一个题往下看,有些地方需要你跟着文章自己用笔写一下。因为
      1. 有些题用到了前题的结论;
      2. 有些步骤做了精简;
      3. 看是看不懂的,写一写才能懂。
  4. 新的回复:
    1. 基础知识请先掌握牢固,我不想再讨论什么拉普拉斯展开的问题了;
    2. 有知友提出第一种箭形行列式把1换成a更具有普遍性。太赞了,已设置为精选评论;
    3. 如仍有问题,可以按照以下步骤走:
      1. 看精选评论区和这里的更新内容;
      2. 拿笔算
      3. 问题描述清楚,私信我

本文记录了八大常见类型的行列式及其解法,解法从一般性到特殊性都有,分享给大家,例子都特别经典好用,希望对线代、高代初学者以及考研党有用。

类型总览:

  • 箭型行列式
  • 两三角型行列式
  • 两条线型行列式
  • 范德蒙德型行列式
  • Hessenberg型行列式
  • 三对角型行列式
  • 各行元素和相等型行列式
  • 相邻两行对应元素相差K倍型行列式

方法总览:

  • 拆行法
  • 升阶法
  • 方程组法
  • 累加消点法
  • 累加法
  • 递推法(特征方程法)
  • 步步差法

一:箭型行列式

最常见最常用的行列式,特征很好辨识,必须掌握,请看下例:

eg:D_n= \left|\begin{array}{cccc} x_1&1&1 &... &1\\ 1&x_2&&&\\ 1&&x_3\\ ...&&&...\\ 1&&&...&x_n \end{array}\right| (空白处都为0)

Solution: 将第一列元素依次减去第 i 列的 \frac{1}{x_i},i=2...n

得:

D_n= \left|\begin{array}{cccc} x_1-\frac{1}{x_2}-...-\frac{1}{x_n}&1&1 &... &1\\ 0&x_2&&&\\ 0&&x_3\\ ...&&&...\\ 0&&&...&x_n \end{array}\right|

所以:

D_n=\prod_{i=2}^{n}x_i(x_1-\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{x_i})


二:两三角型行列式

1、特征为对角线上方元素均为 a ,下方元素均为 b

a=b 时可化为箭型行列式计算,当 a\not=b 时采用拆行法计算,请看下面两例

eg1(a=b):D_n=\left|\begin{array}{cccc} x_1&b&b &... &b\\ b&x_2&b&...&b\\ b&b&x_3&...&b\\ ...&...&...&...&...\\ b&b&b&...&x_n \end{array}\right|

Solution: 将第 i,i=2...n 行都减去第一行

得:

D_n=\left|\begin{array}{cccc} x_1&b&b &... &b\\ b-x_1&x_2-b&0&...&0\\ b-x_1&0&x_3-b&...&0\\ ...&...&...&...&...\\ b-x_1&0&0&...&x_n-b \end{array}\right|

即化成了箭型行列式,所以:

D_n=[\prod_{i=2}^{n}(x_i-b)]\times[x_1-b(b-x_1)\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{x_i-b}]


eg2(a\not=b):D_n=\left|\begin{array}{cccc} x_1&a&a &... &a\\ b&x_2&a&...&a\\ b&b&x_3&...&a\\ ...&...&...&...&...\\ b&b&b&...&x_n \end{array}\right|

Solution: 采用拆行法,目的是为了降阶

D_n=\left|\begin{array}{cccc} x_1&a&a &... &a+0\\ b&x_2&a&...&a+0\\ b&b&x_3&...&a+0\\ ...&...&...&...&...\\ b&b&b&...&x_n+b-b \end{array}\right|

D_n=\left|\begin{array}{cccc} x_1&a&a &... &a\\ b&x_2&a&...&a\\ b&b&x_3&...&a\\ ...&...&...&...&...\\ b&b&b&...&b \end{array}\right|_{(*)}+\left|\begin{array}{cccc} x_1&a&a &... &0\\ b&x_2&a&...&0\\ b&b&x_3&...&0\\ ...&...&...&...&...\\ b&b&b&...&x_n-b \end{array}\right|

(*)i,i=1...n-1 列都减去最后一列,得:

D_n=\left|\begin{array}{cccc} x_1-a&0&0 &... &a\\ b-a&x_2-a&0&...&a\\ b-a&b-a&x_3-a&...&a\\ ...&...&...&...&...\\ 0&0&0&...&b \end{array}\right|+(x_n-b)D_{n-1}

所以:

D_n=b\prod_{i=1}^{n-1}(x_i-a)+(x_n-b)D_{n-1} (1)(1)

再由行列式转置不变性得到:

D_n=a\prod_{i=1}^{n-1}(x_i-b)+(x_n-a)D_{n-1} (2)

联立 (1)(2) ,得通式:

D_n=\frac{1}{a-b}[a\prod_{i=1}^{n}(x_i-b)-b\prod_{j=1}^{n}(x_j-a)]


2、通过适当变换可以化为两三角型行列式的,描述不如大家自己看例子揣摩,也很容易理解的,请看下例

eg3:D_n=\left|\begin{array}{cccc} d&b&b &... &b\\ c&x&a&...&a\\ c&a&x&...&a\\ ...&...&...&...&...\\ c&a&a&...&x \end{array}\right|

Solution: 将第一行乘上 \frac{a}{b} ,第一列乘上 \frac{a}{c} ,得:


D_n=\frac{bc}{a^2}\left|\begin{array}{cccc} \frac{a^2d}{bc}&a&a &... &a\\ a&x&a&...&a\\ a&a&x&...&a\\ ...&...&...&...&...\\ a&a&a&...&x \end{array}\right|

即化成了两三角型行列式


3、一些每行上有公因子但是无法向上式那样在保持行列式不变得基础上能提出公因子的,采用升阶法,请看下例

eg4:D_n=\left|\begin{array}{cccc} 1+x_{1}^2&x_1x_2&x_1x_3 &... &x_1x_n\\ x_2x_1&1+x_{2}^2&x_2x_3&...&x_2x_n\\ x_3x_1&x_3x_2&1+x_{3}^2&...&x_3x_n\\ ...&...&...&...&...\\ x_nx_1&x_nx_2&x_nx_3&...&1+x_{n}^2 \end{array}\right|

Solution: 加边升阶,得:

D_n=\left|\begin{array}{cccc} 1&x_1&x_2&x_3&...&x_n\\ 0&1+x_{1}^2&x_1x_2&x_1x_3 &... &x_1x_n\\ 0&x_2x_1&1+x_{2}^2&x_2x_3&...&x_2x_n\\ 0&x_3x_1&x_3x_2&1+x_{3}^2&...&x_3x_n\\ 0&...&...&...&...&...\\ 0&x_nx_1&x_nx_2&x_nx_3&...&1+x_{n}^2 \end{array}\right|

再将第 i,i=2...n+1 都减去第一行的 x_i,i=1...n 倍,得:

D_n=\left|\begin{array}{cccc} 1&x_1&x_2&x_3&...&x_n\\ -x_1&1&0&0 &... &0\\ -x_2&0&1&0&...&0\\ -x_3&0&0&1&...&0\\ 0&...&...&...&...&...\\ -x_n&0&0&0&...&1 \end{array}\right|

即又化成了箭型行列式,可得通式:

D_n=1+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}


三:两条线型行列式

特征是除了主(次)对角线或与其相邻得一条斜线所组成的任意一条线加四个顶点中的某个顶点外,其他元素均为0,这类行列式可以直接展开降阶。这段描述有点繁琐,但其实也并不复杂,请看下例理解

eg3:D_n=\left|\begin{array}{cccc} a_1&b_1& &... &\\ &a_2&b_2&...&\\ &&a_3&...&\\ &&&\\ &&...&a_{n-1}&b_{n-1} \\ b_n&&...&&a_n \end{array}\right| (空白处都为0)

Solution: 按照第一列两个非0元素拉普拉斯展开即可

D_n=\prod_{i=1}^{n}a_i+(-1)^{n+1}\prod_{i=1}^{n}b_i


四:范德蒙德型行列式

范德蒙德行列式大家应该熟悉,而范德蒙德型行列式的特征就是有逐行(列)元素按幂递增(减),可以将其转化为范德蒙德行列式来计算,请看下例

eg:D_n=\left|\begin{array}{cccc} a_{1}^n& a_{1}^{n-1}b_1&... &a_1b_1^{n-1}&b_1^n\\ a_{2}^n&a_{2}^{n-1}b_2&...&a_2b_2^{n-1}&b_2^n\\ ...&...&...&...&...\\ a_{n}^n&a_{n}^{n-1}b_n&...&a_nb_n^{n-1}&b_n^n\\ a_{n+1}^n&a_{n+1}^{n-1}b_{n+1}&...&a_{n+1}b_{n+1}^{n-1}&b_{n+1}^n \end{array}\right|

Solution: 将每行都提出 a_i^{n},i=1...n+1 倍,得:

D_n=\prod_{i=1}^{n+1}a_i^n\left|\begin{array}{cccc} 1& \frac{b_1}{a_1}&... &(\frac{b_1}{a_1})^{n-1}&(\frac{b_1}{a_1})^{n}\\ 1&\frac{b_2}{a_2}&...&(\frac{b_2}{a_2})^{n-1}&(\frac{b_2}{a_2})^{n}\\ ...&...&...&...&...\\ 1&\frac{b_n}{a_n}&...&(\frac{b_n}{a_n})^{n-1}&(\frac{b_n}{a_n})^{n}\\ 1&\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}&...&(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}})^{n-1}&(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}})^{n} \end{array}\right|

上式即为范德蒙德行列式,所以通式为:

D_n=\prod_{1\le i<j\le n+1}(a_ib_j-b_ia_j)


五:Hessenberg型行列式

特征为除了主(次)对角线及与其相邻的斜线,再加上第一行(列)或第n行(列)外,其余元素均为0。这类行列式有点像前面说的两条线型行列式,但是还是有一点区别的。这类行列式都用累加消点法,即通常将某一行(列)都化简到只有一个非0元素,以便于降阶计算,请看下例

eg:D_n= \left|\begin{array}{cccc} 1&2&3 &... &n-1&n\\ 1&-1&&&&\\ &2&-2&...\\ ...&...&...&...&...&...\\ &&&n-2&2-n&\\ &&&...&n-1&1-n \end{array}\right|

Solution: 将各列都加到第一列,得到:

D_n= \left|\begin{array}{cccc} \frac{n(n+1)}{2}&2&3 &... &n-1&n\\ 0&-1&&&&\\ 0&2&-2&...\\ ...&...&...&...&...&...\\ 0&&&n-2&2-n&\\ 0&&&...&n-1&1-n \end{array}\right|

降阶之后再重复上述步骤即可得到通式:

D_n=(-1)^{n-1}\frac{(n+1)!}{2}


注:需要说明的是,上面举的例子比较容易看出如何实施累加消点法就可以实现将某一行(列)都化简到只有一个非0元素从而达到降阶的目的,但是还有很多Hessenberg型行列式并不这么容易就做到,还需要大家找找技巧稍微变换一下,只要始终记得你要用累加消点法来消元来降阶就可以了


六:三对角型行列式

这是一种递推结构的行列式,特征为所有主子式都有相同的结构,从而以最后一列展开,将所得的 (n-1) 阶行列式再展开即得递推公式,即递推法(特征方程法),请看下例

eg:D_n= \left|\begin{array}{cccc} a&b& &&... &&&\\ c&a&b&&...&&&\\ &c&a&b&...&&\\ ...&...&...&...&...&\\ &&&&...&a&b\\ &&&&...&c&a \end{array}\right|

Solution: 按第一列拉普拉斯展开,得:

D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2}

解特征方程: x^2=ax-bc ,得:

x_1=\frac{a+\sqrt{a^2-4bc}}{2} x_2=\frac{a-\sqrt{a^2-4bc}}{2}

即可得通式:

D_n = \frac{x_1^{n+1}-x_2^{n+1}}{x_1-x_2}


注:特征方程法我没记错的话,应该是在高中将数列的时候用到的。貌似还叫不动点法?大概吧 ...


七:各行元素和相等型行列式

这个特征已经很清楚了吧,方法就是累加法,很简单,直接看下例

eg:D_n= \left|\begin{array}{cccc} 1+x_1&x_1 &... &x_1\\ x_2&1+x_2&...&x_2\\ ...&...&...&...\\ x_n&x_n&...&1+x_n \end{array}\right|

Solution: 将第 i,i=2...n 行都加到第一行去,得:

D_n= \left|\begin{array}{cccc} 1+\sum_{i=1}^{n}x_i&1+\sum_{i=1}^{n}x_i &... &1+\sum_{i=1}^{n}x_i\\ x_2&1+x_2&...&x_2\\ ...&...&...&...\\ x_n&x_n&...&1+x_n \end{array}\right|

所以:

D_n= (1+\sum_{i=1}^{n}x_i)\left|\begin{array}{cccc} 1&1 &... &1\\ x_2&1+x_2&...&x_2\\ ...&...&...&...\\ x_n&x_n&...&1+x_n \end{array}\right|= (1+\sum_{i=1}^{n}x_i)\left|\begin{array}{cccc} 1&0&... &0\\ x_2&1&...&0\\ ...&...&...&...\\ x_n&0&...&1 \end{array}\right|=1+\sum_{i=1}^{n}x_i


八:相邻两行对应元素相差K倍型行列式

这个要用步步差法

(1)大部分元素为数字,且相邻两行对应元素相差为1,采用逐步作差的方法,即可出现大量 \pm1 元素,进而出现大量0元素

(2)若相邻两行相差K倍,采用逐步作k倍差得方法,即可出现大量0元素

请看下面两个例子

eg1:D_n= \left|\begin{array}{cccc} 0&1&2 &...&n-2 &n-1\\ 1&0&1&...&n-3&n-2\\ 2&1&0&...&n-4&n-3\\ ...&...&...&...&...&...\\ n-2&n-3&n-4&...&0&1\\ n-1&n-2&n-3&...&1&0 \end{array}\right|

Solution: 从第一行开始,依次用前一行减去后一行,得:

D_n= \left|\begin{array}{cccc} -1&1&1 &...&1 &1\\ -1&-1&1&...&1&1\\ -1&-1&-1&...&1&1\\ ...&...&...&...&...&...\\ -1&-1&-1&...&-1&1\\ n-1&n-2&n-3&...&1&0 \end{array}\right|

再将第一列加到第 i,i=2...n 列,得:

D_n= \left|\begin{array}{cccc} -1&0&0&...&0&0\\ -1&-2&0&...&0&0\\ -1&-2&-2&...&0&0\\ ...&...&...&...&...&...\\ -1&-2&-2&...&-2&0\\ n-1&2n-3&2n-4&...&n&n-1 \end{array}\right|=(-1)^{n-1}(-2)^{n-2}(n-1)



eg2:D_n= \left|\begin{array}{cccc} 1&a&a^2 &...&a^{n-2} &a^{n-1}\\ a^{n-1}&1&a&...&a^{n-3} &a^{n-2} \\ a^{n-2} &a^{n-1} &1&...&a^{n-4} &a^{n-3} \\ ...&...&...&...&...&...\\ a^2&a^3&a^4&...&1&a\\ a&a^2&a^3&...&a^{n-1}&1 \end{array}\right|

Solution: 从第一行开始,依次用前一行加上后一行的 (-a) 倍,得:

D_n= \left|\begin{array}{cccc} 1-a^n&0&0&...&0&0\\ a^{n-1}&1-a^n&0&...&0 &0\\ 0 &0 &1-a^n&...&0&0 \\ ...&...&...&...&...&...\\ 0&0&0&...&1-a^n&0\\ a&a^2&a^3&...&a^{n-1}&1 \end{array}\right|

所以:

D_n=(1-a^n)^{n-1}



以上就是八大常见类型行列式及其解法,一般你无法直接做的行列式,基本上逃不出这几种类型。谢谢浏览!码字不易,觉得有用的点个赞啊谢谢您嘞!

编辑于 2019-12-04