证明论学习笔记1：预备知识
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证明论大致可以分为结构证明论（structural proof theory）和诠释证明论（interpretational proof theory）。
其中结构证明论基于形式证明结构的组合分析，核心方法是切消除（cut elimination）和正规化（normalization）。
而诠释证明论则经常将一个形式理论的句法翻译成另一个形式理论，例如从经典逻辑到最小逻辑的哥德尔-根岑嵌入（Gödel-Gentzen embedding）。
什么是一阶谓词逻辑（first-order predicate logic）？
一阶谓词逻辑可以用来推理具体事物、事物之间的关系及其它们之间的逻辑关系。一阶逻辑有多种具体的形式表述。我们采用的版本是：
取下列初始逻辑算子（primitive logical operators）：
- 二元： \wedge,\vee,\to （此三者参数均为命题）
- 零元： \bot
取下列量词（quantifiers），用来约束（bind）命题中的变量：
- 全称量词： \forall
- 存在量词： \exists
又取可数无限个变量（variables）， n 元关系（n-place relations），以及 n 元函数（n-ary functions）。零元关系被称为命题变量，零元函数被称为常量。原子式（atomic formulas）形如 Rt_1,\dots,t_n。原子式加上 \bot 被称为初始式（prime formulas）。
另外， A\to \bot 缩写为 \neg A ； \bot\to\bot 缩写为 \top 。
替换、约束和自由变量
一个逻辑式中受到量词约束的变量被称为约束变量（bound variables），不受量词约束的变量被称为自由变量（free variables）。我们用 FV(t) 来表示项 t 中自由变量的集合。
用项 t 来替换（substitute ... for ...）表达式 \mathcal{E} 中的变量 x ，标记为 \mathcal{E}[x:=t] 或 \mathcal{E}(x/t) 。用等量的项来替换等量的变量，可以使用向量标记法 \mathcal{E}[\vec{x}:=\vec{t}] 。
子逻辑式（subformulas）
根岑子逻辑式（Gentzen -）：
- A 是 A 的子逻辑式。
- 如果 B\vee C, B\wedge C 或 B\to C 是 A 的子逻辑式，那么 B 和 C 也是 A 的子逻辑式。
- 如果 \forall x.B 或 \exists x. B 是 A 的子逻辑式，那么 B[x:=t] 也是 A 的子逻辑式。其中 t 是所有不包含 x 的项。
直白子逻辑式（literal -）：
- A 是 A 的子逻辑式。
- 如果 B\vee C, B\wedge C 或 B\to C 是 A 的子逻辑式，那么 B 和 C 也是 A 的子逻辑式。
- 如果 \forall x.B 或 \exists x. B 是 A 的子逻辑式，那么 B 也是 A 的子逻辑式
如不含修饰语，我们所指的子逻辑式一般为根岑子逻辑式
正、负、严格正子逻辑式：
- A 是 A 的正（positive）和严格正（strictly positive）子逻辑式。
- 如果 B\wedge C 或 B\vee C 为 A 的正[负，严格正]子逻辑式，那么 B 和 C 也是相应类别的子逻辑式。
- 如果 \forall x.B 或 \exists x. B 是 A 的正[负，严格正]子逻辑式，那么 B[x:=t] 也是 A 的相应类别的子逻辑式。其中 t 是所有不包含 x 的项。
- 如果 B\to C 是 A 的正[负]子逻辑式，那么 B 则是 A 的负[正]子逻辑式， C 是 A 的正[负]子逻辑式。
- 如果 B\to C 是 A 的严格正子逻辑式，那么 C 也是 A 的严格正子逻辑式。
- 严格正子逻辑式又被称为严格正部分（strictly positive part, s.p.p.）。
- A 的子逻辑式的集合为所有正子逻辑式和所有负子逻辑式的并集。
语境（contexts）：
我们归纳地定义正负语境（positive context, negative context, strictly positive context） \mathcal{P,N} 和 \mathcal{SP} 如下，其中 * 代表一个命题空位（proposition placeholder）：
- *\in P
- 如果 B^+\in \mathcal{P}, B^{-}\in \mathcal{N} ，且 A 为任意逻辑式，那么 A\wedge B^+, B^+\wedge A, A\vee B^+, B^+\vee A ， A\to B^+, B^-\to A, \forall x .B^+,\exists x.B^+ 都属于 \mathcal{P} 。
- 如果 B^+\in \mathcal{P}, B^{-}\in \mathcal{N} ，且 A 为任意逻辑式，那么 A\wedge B^-, B^-\wedge A, A\vee B^-, B^-\vee A ， A\to B^-, B^+\to A, \forall x .B^-,\exists x.B^- 都属于 \mathcal{N} 。
- *\in \mathcal{SP}
- 如果 B\in \mathcal{SP} ，那么 A\wedge B,B\wedge A, A\vee B, B\vee A ， A\to B,\forall x.B, \exists x.B 都属于 \mathcal{SP} 。
有限多重集（finite multisets）
多重集中的元素可以重复出现。如果逻辑式 A 可以从假设的有限多重集 \Gamma 中推导出来，我们记作 \Gamma \vdash A ，等同于 \vdash \Gamma\Rightarrow A 。
三大证明体系
- 希尔伯特系统
- 自然演绎（最为常用的版本也是由根岑发明的）
- 相继式演算（又称根岑系统）
参考文献：
Handbook of Logic in Computer Science
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