椭圆曲线，模形式，模曲线，表示论，求和公式 (2)

继续上次的讨论。IMHO，这里有个有趣的问题：

假设某图灵机可输出一系列数 \{a_n\} ，定义 f = \sum_n a_n q^n ，如何快速判断 f 是否属于 S_k(\Gamma_0(N),\,\chi) ？

上述数可以来自于数点（etale上同调 / Galois 表示），表示论（moonshine），等等。

最直接的想法是，能不能根据模形式的定义，计算 f 在 \Gamma_0(N) 下的变换情况是否合格？很遗憾，这是算不了的。

那么是否需要用暴力的方法，算 S_k(\Gamma_0(N),\,\chi) 的基？这是可以算的，对于 k \geq 2 时电脑也会算。对于 k=1 的情况比较微妙，目前还没有维数公式，因此我不知道电脑能不能保证算出来。大部分是 theta series，当然也有不是的。Kevin Buzzard 算了不少，例如 x^5-211 x^2 - 1266 x -1899 的 splitting field 对应 N=633，在 A_5 (icosahedral)表示中拥有最小的 N。

这个问题其实有一个简单的数值验证方法，电脑也会算，而且不用编程，我们在后续讨论。这次回顾一些经典理论。

4.1 级 N 的模形式的函数方程

对于 cusp form f，这是常用的 Mellin 变换公式：

\int_0^\infty f(iz)\, z^{s} \frac{dz}{z} = (2\pi)^{-s} \Gamma(s) L(s,f)

考虑 Atkin-Lehner (Fricke) involution（注意，这里比传统定义多一个 i^k ，最终得到的函数方程更美观）：

\tilde{f}(z)=i^kN^{-\frac{k}{2}}z^{-k}f(\frac{-1}{Nz})

易证 \tilde{\tilde f} = f ，且它能保留 S_k(\Gamma_0(N)) 和 S_k(\Gamma_1(N)) ，即，\tilde f 仍然在 f 所在的矢量空间中。那么 Atkin-Lehner involution 的 eigenvalue 只可能是 \pm 1 。

在 S_k(\Gamma_0(N)) 上，它与 Hecke 算子 commute，因此此时 Hecke eigenform 的 Atkin-Lehner eigenvalue 是 \pm 1。具体是多少，并不容易算，可以从 local 的 Atkin-Lehner involution 算。

而根据 BSD 猜想，（在用传统定义时）这个 eigenvalue 应该是 (-1)^{rank} ，其中 rank 是对应的椭圆曲线的 rank。可见这个事情很玄，它也与 class number 有关。

对于 S_k(\Gamma_1(N)) 就不一定 commute 了，此时有 pseudo-eigenvalue，即，在作用后 f \in S_k(\Gamma_0(N), \chi) 变成了 \bar{f} \in S_k(\Gamma_0(N), \bar \chi) ，也有个变换的系数 ，系数的模 = 1。

注意到：

\tilde{f}(\frac{i}{\sqrt{N} z})= z^{k}f(\frac{i z}{\sqrt{N}})

因此，定义：

\Lambda(s, f) = \int_0^\infty f(\frac{iz}{\sqrt{N}})\, z^{s} \frac{dz}{z} = N^{\frac{s}{2}}(2\pi)^{-s} \Gamma(s) L(s,f)

则（注意如前所述这里的 \tilde f 定义包括了 i^k ）：

\Lambda(s, f) = \Lambda(k-s, \tilde{f})

4.2 加入 twist

我们后续也会用到有 nebentypus 和 twist 的情况，一方面是因为 Weil 的 converse 定理，一方面是因为我们会考虑 k=1 的情况，此时是“一元方程 => S_1(\Gamma_0(N),\,\chi) ”。

对于 f \in S_k(\Gamma_0(N),\,\chi) ，我们用 primitive character \psi 把它 twist 一下。这里 \chi 的 conductor 为 N， \psi 的conductor 为 D，且要求 (D, N) = 1，以简化问题。则 f_\psi \in S_k(\Gamma_0(N D^2),\,\chi \psi^2) 。

考虑 L(s,f,\psi) = \sum_{n=1}^\infty \psi(n) a_n n^{-s} 。

定义：

\Lambda(s, f, \psi) = D^s N^{\frac{s}{2}}(2\pi)^{-s} \Gamma(s) L(s,f,\psi)

则（注意如前所述这里的 \tilde f 定义包括了 i^k ）：

\Lambda(s, f, \psi) = \chi(D) \psi(N) \frac{G(\psi)^2}{D} \Lambda(k-s, \tilde{f}, \bar\psi)

其中 G 是 Gauss sum。注意这里的系数的模 = 1。

为什么我们要算函数方程，待续。