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三矢量的混合积

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预备知识 矢量的叉乘
   我们定义以下运算

\begin{align}&( \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}} )  \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{C}}&(1)\\\end{align}

为矢量 \boldsymbol{\mathbf{A}} ,  \boldsymbol{\mathbf{B}} ,  \boldsymbol{\mathbf{C}}混合积. 混合积满足
\begin{align}&( \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}} )  \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{C}}  = ( \boldsymbol{\mathbf{B}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{C}} )  \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{A}}  = ( \boldsymbol{\mathbf{C}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{A}} )  \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{B}}&(2)\\\end{align}

这个公式可由图 1 记忆.

图 1:式 2 记忆法


   图中箭头的方向由叉乘的方向(顺时针或逆时针)决定,与内积无关, 即 \boldsymbol{\mathbf{A}}  \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}}   \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{C}}  =  \boldsymbol{\mathbf{C}}   \boldsymbol\cdot  ( \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}} ).如果混合积的顺序取与箭头相反的方向, 根据叉乘的性质,需要在前面加上负号(叉乘不满足乘法交换律). 式 2 式 3 互为相反数

\begin{align}&( \boldsymbol{\mathbf{C}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}} )  \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{A}}  = ( \boldsymbol{\mathbf{B}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{A}} )  \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{C}}  = ( \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{C}} )  \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{B}}&(3)\\\end{align}


   注意即使将混合积省略括号记为 \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}}   \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{C}} 或者 \boldsymbol{\mathbf{C}}   \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}} 也应该理解为先叉乘后内积. \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times  ( \boldsymbol{\mathbf{B}}   \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{C}} ) 没有定义, 因为矢量不能叉乘标量.
几何法证明

图 2:矢量混合积的几何意义


   如图 2 , 以三个矢量为棱作平行六面体. 由习题 1 可知 \left\lvert  \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}}  \right\rvert 就是 \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} 所在平行四边形的面积. 令 \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}}  =  \left\lvert  \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}}  \right\rvert   \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}}, 则 \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} 为平面的法向量, 平行六面体的高为 \left\lvert  \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}}   \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{C}}  \right\rvert, 所以平行六面体的体积等于底面积乘以高

\begin{align}&V =  \left\lvert  \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}}  \right\rvert   \left\lvert  \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}}   \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{C}}  \right\rvert  =  \left\lvert  \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}}   \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{C}}  \right\rvert&(4)\\\end{align}

同理可得对于同一平行六面体
\begin{align}&V =  \left\lvert  \boldsymbol{\mathbf{B}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{C}}   \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{A}}  \right\rvert  =  \left\lvert  \boldsymbol{\mathbf{C}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{B}}  \right\rvert&(5)\\\end{align}

这里只证明了式 2 的绝对值, 要证明正负号, 定义 \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}}   \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{C}}  < 0V 为负值即可.


代数法证明
预备知识 行列式
   不难证明三矢矢积若展开成分量的形式,等于三个矢量组成的行列式

\begin{align}&\boldsymbol{\mathbf{A}}   \boldsymbol\times   \boldsymbol{\mathbf{B}}   \boldsymbol\cdot   \boldsymbol{\mathbf{C}}  =  \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z\\ B_x & B_y & B_z\\ C_x & C_y & C_z\end{vmatrix}&(6)\\\end{align}

而利用行列式中任意两行置换符号改变,即可证明式 2

编辑于 07-22

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