一道量子力学的习题
前一段时间,有朋友问怎样估计一个原子的极化率或者介电常数,我马上意识到这就是熟悉的stark效应,可以算作一道量子力学的微扰论的习题了.
首先,极化是指,原先呈现电中性的系统,例如一个处于基态的氢原子,在外场的作用下,正负电荷的中心发生偏离,系统被诱导出一个偶极矩的过程,其中,在外场为微扰的情况下,可看做是材料对外场的线性的响应,也就是说,精确到第一阶,有
在一般的线性介质中, 是一个张量,而在各向同性的系统中,
就是一个标量,称为极化率.
对于一个氢原子系统来说,在外加静电场的作用下,本征态发生的微扰叫做stark效应.发生stark效应后,氢原子的基态就带有了极性,也就是说,它被诱导产生了一个不为零的偶极矩,
所以我们就可以用量子力学中的微扰论来计算这个偶极矩的大小,从而计算出极化率.
一阶微扰论:
在量子力学中,如果哈密顿受到修正 , 为一个耦合常数,是小量
则,基态的本征值和本征函数都会受到扰动,扰动的强度由 决定
两边同时展开到 的一阶项得到
对比系数得到
而由Hellmann–Feynman 定理
所以只需要解方程
就可得到
这里要注意,这是一个非齐次的线性偏微分方程, 具有一个自由性,可以相差一个齐次方程的解 ,但是,若将微扰后的波函数作归一化的约束:
则方程的解就是唯一的.
根据偶极矩的定义
注意到,由于氢原子基态的对称性,零级微扰必然为零.
求解微扰方程
在数学物理中,格林函数法在是处理非齐次方程的直接解法.
对于非齐次方程
定义广义格林算符为:
其中, 是系统的基态,
可以形式化的表示出方程的一个特解,
在约束条件 ,之下,这也唯一解
在本问题中,受到外场作用,势能的微扰为:
其中, 为外加的电场,
我们知道,基态时,系统的能量为
,其中,
为Bohr 半径.
所以可以用 作为表征耦合强度的无量纲参数,
这样一来,
我们不妨先计算一下积分
由Wigner-Eckart定理,这个积分含有不可约张量算符的矩阵元
所以,有"选择定则": 只有 矩阵元才不为零
所以积分为:
其中, 为方向矢量.
所以
我们发现,这里陷入了一个无穷求和的困境,
但是我们从这个复杂的形式中看出, 是可以分离变数的.
所以不妨设 ,
直接带到原方程中,分离变数法得以下径向方程,(这里进行了代换 )
令,则
满足
可考虑多项式形式的解
,带入方程中得到
解得
恢复标度 得
极化率的计算
经过简单的计算可以得到
所以
所以氢原子基态的极化率为