规范化的Ricci流,指数速度收敛

这篇文章是 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci流 的第五部分,也是最后一部分。这篇文章的主要内容有三部分:第一部分,介绍规范化的Ricci流的一些基本性质;第二部分,证明在Ricci曲率大于0的三维闭流形上,规范化的Ricci流按照指数速度收敛于常曲率度量;第三部分,完成一开始 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci流 中主要定理的证明。

这篇文章主要参考了 [1]。



一、规范化的Ricci流的一些基本性质

我们所说的Ricci流一般是指 \partial_tg=-2Ric ,也就是非规范化的Ricci流(unnormalized Ricci flow)。规范化的Ricci流(normalized Ricci flow)是指方程 \partial_\widetilde t\widetilde g=\frac 2n\widetilde r\widetilde g-2\widetilde {Ric} ,其中 n 为流形 M 的维数, \widetilde r=\frac{\int_M \widetilde Rd\widetilde\mu}{\int_M d\widetilde\mu} 为数量曲率的积分平均值。

规范化的Ricci流的特点是保持体积不变,原因如下:在局部坐标系 (U;x^i) 下看,体积元 d\widetilde\mu=\widetilde\mu dx,\widetilde\mu=\sqrt{det(g_{ij}}) ,利用对行列式求导的公式可计算得 \frac1{\widetilde\mu}\frac{\partial \widetilde\mu}{\partial \widetilde t}=\frac12\widetilde g^{ij}\frac{\partial \widetilde g_{ij}}{\partial \widetilde t}=\frac12\widetilde g^{ij}(\frac2n\widetilde r\widetilde g_{ij}-2\widetilde R_{ij})=\widetilde r-\widetilde R ,即 \frac{\partial (d\widetilde\mu)}{\partial \widetilde t}=(\widetilde r-\widetilde R)d\widetilde\mu ,因此 \frac{d}{d\widetilde t}(\int_Md\widetilde\mu)=\int_M\frac{\partial(d\widetilde\mu)}{\partial \widetilde t}=\int_M(\widetilde r-\widetilde R)d\widetilde\mu=0 。这说明体积在规范化得Ricci流下是不变的。


同时非规范化的Ricci流 \partial_tg=-2Ric 的解在经过一个空间上的伸缩(rescaling)和时间上的重新参数化(reparametrization)后能变成规范化的Ricci流 \partial_\widetilde t \widetilde g=\frac2n\widetilde r\widetilde g-2\widetilde {Ric} 的解,具体如下:设 g(t) 满足方程 \partial_tg=-2Ric,取一个只跟时间有关的函数 \psi(t)>0 ,使得 \widetilde g(t)=\psi(t)g(t) 对应的体积恒为 1 ,即 \int_Md\widetilde\mu\equiv1 。注意,在局部坐标系 (U;x^i) 下看 d\widetilde\mu=\widetilde\mu dx,\widetilde\mu=\sqrt{det(\widetilde g_{ij})}=\psi^{n/2}\sqrt{det(g_{ij})}=\psi^{n/2}\mu ,因此 d\widetilde\mu=\psi^{n/2}d\mu ,从而 \psi(t) 可由等式 \psi^{n/2}\int_Md\mu\equiv 1 完全确定。对时间上来说,则令 \widetilde t=\int_0^t\psi(s)ds

我们将证明 \partial_\widetilde t\widetilde g=\frac 2n\widetilde r\widetilde g-2\widetilde {Ric} :首先考察各种几何量在空间伸缩下的变化, \widetilde g_{ij}=\psi g_{ij},\widetilde g^{ij}=\psi^{-1}g^{ij} ,因此Christoffel符号的变化为 \widetilde\Gamma_{ij}^k=\frac12 \psi^{-1}g^{kl}(\psi \partial_ig_{jl}+\psi \partial_jg_{il}-\psi \partial_l g_{ij})=\Gamma_{ij}^k (其中 \psi 只与时间有关,因此对空间方向求导为0, \partial_i\psi\equiv0 ),即Christoffel符号是不变的。利用黎曼曲率张量的计算公式可得 \widetilde R_{ijk}^l=R_{ijk}^l ,因此 \widetilde R_{ij}=\widetilde R_{kij}^k=R_{kij}^k=R_{ij}, \widetilde R=\psi^{-1}g^{ij}\cdot R_{ij}=\psi^{-1}R 。最后计算 \widetilde r\widetilde r=\frac{\int_M \widetilde Rd\widetilde\mu}{\int_M d\widetilde\mu}=\frac{\int_M \psi^{-1}R\cdot \psi^{n/2}d\mu}{1} ,利用 \psi^{n/2}\int_M d\mu\equiv1\widetilde r=\psi^{-1}\frac{\int Rd\mu}{\int_M d\mu}=\psi^{-1}r

现在,利用求导的链式法则, \partial_\widetilde t\widetilde g_{ij}=\frac{dt}{d\widetilde t}\times\partial_t(\psi g_{ij})=\psi^{-1}\times(\frac{d\psi}{dt}\cdot g_{ij}+\psi\cdot \partial_tg_{ij})=\frac{d(\log\psi)}{dt}\cdot g_{ij}-2R_{ij} ,因此只需计算 \frac{d(\log\psi)}{dt} 。对 \psi^{n/2}\int_M d\mu\equiv1 两边取 \log\frac n2\log\psi+\log\int_Md\mu=0 ,因此只需计算 \frac{d}{dt}(\log\int_Md\mu)=\frac{\int_M \frac{\partial (d\mu)}{\partial t}}{\int_Md\mu} 。由 d\mu=\mu dx,\mu=\sqrt{det(g_{ij})} 及行列式得求导公式得 \frac1{\mu}\frac{\partial \mu}{\partial t}=\frac12g^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}=\frac12g^{ij}(-2R_{ij})=-R,\frac{\partial(d\mu)}{\partial t}=-Rd\mu ,因此 \frac{d}{dt}(\log\int_Md\mu)=\frac{\int_M -R d\mu}{\int_Md\mu}=-r ,故 \frac{d(\log\psi)}{dt}=-\frac2n\frac{d}{dt}(\log\int_Md\mu)=\frac2nr 。最终 \partial_\widetilde t\widetilde g_{ij}=\frac{d(\log\psi)}{dt}\cdot g_{ij}-2R_{ij}=\frac2nrg_{ij}-2R_{ij}=\frac2n\widetilde r\widetilde g-2\widetilde R_{ij} ,于是我们证明了 \widetilde g(\widetilde t) 满足规范化Ricci流的方程。




二、指数速度收敛

现在我们回到Ricci曲率大于0的三维闭流形上,设 g(t),t\in[0,T) 为非规范化Ricci流的解, T 为解的最大存在时间,则 \widetilde g(\widetilde t),\widetilde t\in[0,\widetilde T) 为上述时空变化后得到的对应的规范化Ricci流的解, \widetilde T 为对应的解的最大存在时间。

小结一下上面得到的各种几何量在空间伸缩下的变化, \widetilde g_{ij}=\psi g_{ij},\;\widetilde g^{ij}=\psi^{-1}g^{ij},\;\widetilde\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ij}^k,\;\widetilde R_{ijk}^l=R_{ijk}^l,\;\widetilde R_{ij}=R_{ij}, \\ \widetilde R=\psi^{-1}R,\; \widetilde r=\psi^{-1}r 。根据变化后出现的 \psi 的次数,我们可以称 g_{ij} 的次数为 1g^{ij},R,r 的次数为 -1\Gamma_{ij}^k,R_{ijk}^l,R_{ij} 的次数为 0 。于是,我们可以把之前文章里得到的、在非规范化Ricci流的情形下、关于次数为 0 的几何量的定理直接搬过来。

以下,经过时空变化后的几何量上面都加上了波浪号。



【命题1】在Ricci曲率大于0的三维闭流形 M 上,设 \widetilde g(\widetilde t),\widetilde t\in[0,\widetilde T) 为上述时空变化后得到的对应的规范化Ricci流的解, \widetilde T 为对应的解的最大存在时间,则有如下命题成立:

1.存在与时间无关的常数 \varepsilon>0 ,使得 \widetilde {Ric}\geq \varepsilon\widetilde R\widetilde g 对于任意 \widetilde t\in[0,\widetilde T) 都成立。

2. \widetilde R_{min}/\widetilde R_{max}\to 1\;(\widetilde t\to \widetilde T)

3. \widetilde S/ \widetilde R^2\to \frac13\;(\widetilde t\to \widetilde T) ,其中 \widetilde S=|\widetilde{Ric}|^2


【证明】注意到命题中涉及到的所有几何量的次数都为0,即 \widetilde {Ric}=Ric,\widetilde R\widetilde g=Rg,\widetilde S/ \widetilde R^2=S/ R^2,\widetilde R_{min}/\widetilde R_{max}=R_{min}/R_{max} ,并且 t\to T\Leftrightarrow \widetilde t\to \widetilde T 。因此,第一个命题即由 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci流 中的结果得到,第二、三个命题即由 Ricci流解的长时间存在性,有限时间奇点的分析 中的结果得到,证毕。



【命题2】在命题1的条件下, \widetilde R_{max}\leq C,\forall \widetilde t\in[0,\widetilde T) 。其中 C>0 为不依赖于时间的常数。

【证明】在此命题的证明中, C>0 代表与时间无关的常数。注意,我们已证明过在非规范化Ricci流下 R>0 是保持的,又因为 \psi>0 ,故变化后对应的 \widetilde R>0

由命题1中的 \widetilde {Ric}\geq \varepsilon\widetilde R\widetilde g 可知Ricci曲率下界 \varepsilon \widetilde R_{min}>0 ,由Myers定理得直径 \widetilde d\leq C\widetilde R_{min}^{-1/2} ,由 \widetilde {Ric}\geq0 时的体积比较定理得体积 \widetilde V\leq C\widetilde d^3 。从而 \widetilde V\leq C\widetilde R_{min}^{-3/2} ,但是我们知道上述时空变化后得到的对应的规范化Ricci流的解的体积 \widetilde V\equiv 1 ,故 \widetilde R_{min}\leq C 。再由命题1, \widetilde t\to \widetilde T\widetilde R_{min}/\widetilde R_{max}\to 1 ,因此我们得到 \widetilde R_{max}\leq C ,命题得证。



【命题3】在命题1的条件下, \widetilde T=+\infty

【证明】 \frac{d\widetilde t}{dt}=\psi,\widetilde r=\psi^{-1}r 。由 Ricci流解的长时间存在性,有限时间奇点的分析 中的结果可知 \int_0^Trdt=+\infty ,故 \int_0^{\widetilde T} \widetilde rd\widetilde t=\int_0^Trdt=+\infty 。由命题2知 \widetilde r\leq \widetilde R_{max}\leq C,\forall \widetilde t\in[0,\widetilde T) ,故要使上述积分为 +\infty 只有 \widetilde T=+\infty ,证毕。



【命题4】在命题1的条件下,存在与时间无关的常数 \alpha>0 ,使得 \widetilde R_{min}\geq \alpha,\forall t\in[0,+\infty)

【证明】在此命题的证明中, C>0代表与时间无关的常数。

由命题1的结果 \widetilde S/\widetilde R^2-\frac13\to 0\;(\widetilde t\to +\infty) ,可知\frac{|\widetilde{Ric}-\frac13\widetilde R\widetilde g|^2}{\widetilde R^2}\to 0\;(\widetilde t\to +\infty) ,这说明当 \widetilde t\to +\infty 时,对任意x\in M,v\in T_pM,|v|=1 ,都有 |\frac{\widetilde {Ric}(v)}{\widetilde R(x)}-\frac13| 一致趋近于0,从而一点 x 处各方向 v 的Ricci曲率与 \frac13\widetilde R(x) 的比值一致趋趋近于1。又利用命题1的结果 \widetilde R_{min}/\widetilde R_{max}\to 1\;(\widetilde t\to +\infty) 可知不同点处的数量曲率与 \widetilde R_{max} 的比值都一致趋近于1,从而不同点处不同方向的Ricci曲率与 \widetilde R_{max} 的比值都一致趋近于1。由于在三维流形上, \widetilde {Ric} 决定了 \widetilde{Rm} ,也决定了截面曲率 \widetilde{K} ,此时截面曲率与Ricci曲率的比值有不依赖于时间的双边控制,因此截面曲率与 \widetilde R_{max} 的比值也有不依赖于时间的双边控制。因此存在 \widetilde T_1\in(0,+\infty) ,使得对于任意 \widetilde t\in(\widetilde T_1,+\infty) 都有 \frac14<\frac{\widetilde K_{min}}{\widetilde K_{max}}\leq1 ,即流形 M 的截面曲率介于 \frac14 AA 之间,且 C^{-1}\widetilde R_{max}\leq A \leq C\widetilde R_{max} 。在 M 的万有覆盖空间 \widetilde M 中也有同样的曲率条件,因此由Klingenberg定理知,单射半径 \rm{inj}(\widetilde M)\geq CA^{-1/2}\geq C\widetilde R_{max}^{-1/2} 。考虑半径为 C\widetilde R_{max}^{-1/2}\leq \rm{inj}(\widetilde M) 的测地球 \widetilde B ,注意到 \widetilde {Ric}>0 ,故Ricci曲率 \leq\widetilde R_{max} ,因此可得体积估计 \rm{Vol}(\widetilde M)\geq \rm{Vol}(\widetilde B)\geq v(3,\widetilde R_{max}/2,C\widetilde R_{max}^{-1/2}) ,其中 \rm{v}(3,\widetilde R_{max}/2,C\widetilde R_{max}^{-1/2}) 为三维常截面曲率为 \widetilde R_{max}/2 的空间中半径为 C\widetilde R_{max}^{-1/2} 的球的体积,可计算出它的值为 C\widetilde R_{max}^{-3/2} ,因此 \rm{Vol}(\widetilde M)\geq C\widetilde R_{max}^{-3/2} 。注意到 \rm{Vol}(M)\equiv1 ,且在 t=0M 上有Ricci曲率 \geq\varepsilon \widetilde R_{min}(0)>0 的度量,由Myers定理可知 \pi_1(M) 为有限群,故 \rm{Vol}(\widetilde M)=|\pi_1(M)|\cdot\rm{Vol}(M)\leq C 。由此即得 \widetilde R_{max}\geq C,\forall \widetilde t\in(\widetilde T_1,+\infty) 。再根据命题1, \widetilde R_{min}/\widetilde R_{max}\to 1\;(\widetilde t\to +\infty) ,故 \widetilde R_{min} 在充分大的时间后有一致的下界控制。所以,我们便可找到与时间无关的常数 \alpha>0 ,使得 \widetilde R_{min}\geq \alpha,\forall t\in[0,+\infty) ,命题得证。



最后为了证明指数速度收敛,我们还要考察在规范化Ricci流下,各种几何量的发展方程。

【引理1】在 n 维流形 M 中,设 \partial_tP=\Delta P+Q 为非规范化Ricci流下几何量 P 的发展方程,其中 P 的次数为 kQ 的次数为 k-1 ,则在上述时空变化后得到的对应的规范化Ricci流的解之下,对应的几何量 \widetilde P 的发展方程为 \partial_{\widetilde t}\widetilde P=\widetilde \Delta \widetilde P+\widetilde Q+\frac2nk\widetilde r\widetilde P

【证明】 \partial_{\widetilde t}\widetilde P=\frac{dt}{d\widetilde t}\times\partial_t(\psi^kP)=\psi^{-1}\times[k\psi^{k-1}\frac{d\psi}{dt}P+\psi^k(\Delta P+Q)]=k\frac{d(\log\psi)}{dt}\psi^{k-1}P+ \\ \psi^{k-1}\Delta P+\psi^{k-1}Q\frac{d(\log \psi)}{dt}=\frac2nr=\frac2n\psi\widetilde rP 的次数为 k\widetilde P=\psi^kP ,从而 k\frac{d(\log\psi)}{dt}\psi^{k-1}P=\frac2nk\widetilde r\widetilde PQ 的次数为 k-1\psi^{k-1}Q=\widetilde Q 。最后,算子 \Delta=g^{ij}\nabla_i\nabla_j ,而算子 \nabla_i 只与Christoffel符号以及空间方向的偏导数有关,因此在上述时空变化下是不变的,故算子 \widetilde \Delta=\psi^{-1}\Delta ,从而 \psi^{k-1}\Delta P=\psi^{-1}\Delta(\psi^kP)=\widetilde\Delta\widetilde P 。因此 \partial_{\widetilde t}\widetilde P=\widetilde \Delta \widetilde P+\widetilde Q+\frac2nk\widetilde r\widetilde P ,命题得证。



我们现在可以证明指数速度收敛了。

【定理1】在命题1的条件下, \widetilde S-\frac13\widetilde R^2\leq Ce^{-\delta \widetilde t},\forall \widetilde t\in[0,+\infty) ,其中 C,\delta>0 为不依赖于时间的常数。

【证明】令 \widetilde f=\widetilde S/\widetilde R^2-\frac13 。利用 Ricci曲率张量的夹挤估计 中的计算结果,在非规范化Ricci流下,对于 f=SR^{-2+\varepsilon}-\frac13 R^{\varepsilon} ,我们有 \frac{\partial f}{\partial t}-\Delta f-2(1-\varepsilon)<\nabla f, R^{-1}\nabla R>\leq 4(T-K)R^{-2+\varepsilon}-2(2-\varepsilon)R^{-3+\varepsilon}S^2-\frac23\varepsilon R^{-1+\varepsilon}S ,其中 0<\varepsilon<1 ,张量 T=g^{ip}g^{kq}R_{pq}g^{jl}R_{ij}R_{kl},\;K=\frac12(-5RS+6T+R^3) 。令 \varepsilon\to 0 ,我们得到对于 f_0=S/R^2-\frac13 ,有 \frac{\partial f_0}{\partial t}-\Delta f_0-2<\nabla f_0, R^{-1}\nabla R>\leq 4(T-K)R^{-2}-4R^{-3}S^2 。注意到这里 f_0 的次数为 0<\nabla f_0,R^{-1}\nabla R>=g^{ij}\nabla_if_0\times R^{-1}\nabla_jRT,K 的次数为 -1 ,因此可以用引理1中的转换方法得到 \frac{\partial \widetilde f}{\partial \widetilde t}-\widetilde\Delta \widetilde f-2<\widetilde\nabla\widetilde f,\widetilde R^{-1}\widetilde\nabla\widetilde R>\leq 4(\widetilde T-\widetilde K)\widetilde R^{-2}-4\widetilde R^{-3}\widetilde S^2

由命题1中的结论 \widetilde{Ric}\geq \varepsilon\widetilde R\widetilde g ,并且仿照 Ricci曲率张量的夹挤估计 的计算过程可知,存在不依赖于时间的常数 0<\delta_1<\min\{1,2\varepsilon^2\} 使得 -2(\widetilde T-\widetilde K)\widetilde R+2\widetilde S^2\geq\delta_1 (\widetilde S^2-\frac13\widetilde R^2\widetilde S) 。因此 \frac{\partial \widetilde f}{\partial \widetilde t}-\widetilde\Delta \widetilde f-2<\widetilde\nabla\widetilde f,\widetilde R^{-1}\widetilde\nabla\widetilde R>\leq \widetilde R^{-3}\times[-2\delta_1(\widetilde S^2-\frac13\widetilde R^2\widetilde S)] 。注意到 \widetilde R^{-3}\times[-2\delta_1(\widetilde S^2-\frac13\widetilde R^2\widetilde S)]=\frac{-2\delta_1}{\widetilde R}\widetilde S\widetilde f\leq\frac{-2\delta_1}{3}\widetilde R\widetilde f ,其中这里用到了 \widetilde f=\widetilde S/\widetilde R^2-\frac 13\geq 0 。利用命题4知, \frac{-2\delta_1}{3}\widetilde R\widetilde f\leq \frac{-2\delta_1\alpha}{3}\widetilde f 。令 \delta=\frac{2\delta\alpha}3>0 ,则 \delta 与时间无关,且 \frac{\partial \widetilde f}{\partial \widetilde t}-\widetilde\Delta \widetilde f-2<\widetilde\nabla\widetilde f,\widetilde R^{-1}\widetilde\nabla\widetilde R>\leq -\delta \widetilde f 。由函数的最大值原理知, \widetilde f 的上界可被ODE \frac{d\widetilde f}{d\widetilde t}=-\delta\widetilde f 的解控制,因此 \widetilde f\leq Ce^{-\delta \widetilde t}C>0 为与时间无关的常数。最后 \widetilde S-\frac13 \widetilde R^2\leq Ce^{-\delta \widetilde t}\times\widetilde R^2 ,再利用命题2的结论 \widetilde R\leq C 即可。命题得证。



【定理2】在命题1的条件下, \widetilde R_{max}-\widetilde R_{min}\leq Ce^{-\delta \widetilde t},\forall \widetilde t\in[0,+\infty) ,其中 C,\delta>0 为不依赖于时间的常数。

【证明】在此命题的证明中, C>0 代表与时间无关的常数。

数量曲率的梯度估计,曲率张量高阶协变微分的估计 可知,对于非规范化的Ricci流, V=\frac{|\nabla R|^2}R+\frac{37}2(8\sqrt3+1)(S-\frac13R^2) 满足 \frac{\partial}{\partial t}V-\Delta V\leq -|\nabla Ric|^2+74(8\sqrt3+1)R(S-\frac13 R^2)\leq CR(S-\frac13 R^2) 。由于 V 的次数为 -2 ,因此利用引理1的中的转换方法可得, \frac{\partial}{\partial \widetilde t}\widetilde V-\Delta \widetilde V\leq C\widetilde R(\widetilde S-\frac13 \widetilde R^2)-\frac43\widetilde r\widetilde V 。利用定理1可知 \widetilde S-\frac13\widetilde R^2\leq Ce^{-\delta \widetilde t} ,再利用 \widetilde R\leq C,\widetilde r\geq\widetilde R_{min}\geq\alpha 可知 \frac{\partial}{\partial \widetilde t}\widetilde V-\Delta \widetilde V\leq Ce^{-\delta\widetilde t}-\frac43\alpha\widetilde V 。令 \delta_1=\max\{\delta,\frac43\alpha\}>0 为与时间无关的常数,则 \frac{\partial}{\partial \widetilde t}\widetilde V-\Delta \widetilde V\leq Ce^{-\delta_1\widetilde t}-\delta_1\widetilde V ,即 \frac{\partial}{\partial \widetilde t}(e^{\delta_1\widetilde t}\widetilde V)-\Delta(e^{\delta_1\widetilde t} \widetilde V)\leq C。由函数的最大值原理知, e^{\delta_1\widetilde t}\widetilde V\leq C+C\widetilde t ,即\widetilde V\leq (C+C\widetilde t)e^{-\delta_1\widetilde t} 。把 \delta_1 适当调小为 \delta_2>0C 适当调大,我们得到 \widetilde V\leq Ce^{-\delta_2\widetilde t} ,从而 \frac{|\widetilde \nabla \widetilde R|^2}{\widetilde R^2}\leq \widetilde V\leq Ce^{-\delta_2\widetilde t},\;|\widetilde \nabla \widetilde R|\leq\widetilde RCe^{-\delta_2\widetilde t/2}\leq Ce^{-\delta_2\widetilde t/2} 。注意 (M, \widetilde g) 为紧致的,故完备;设 \widetilde R(x_1,\widetilde t)=\widetilde R_{min}(\widetilde t),\;\widetilde R(x_2,\widetilde t)=\widetilde R_{max}(\widetilde t) ,则存在连接 x_1x_2 的最短测地线 \gamma:[0,\widetilde L]\to M\widetilde L=\widetilde d(x_1,x_2) 。因此, \widetilde R_{max}-\widetilde R_{min}=\int_0^\widetilde L\widetilde \nabla \widetilde R(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt\leq\int_0^\widetilde L|\widetilde \nabla \widetilde R(\gamma(t))|dt\leq \widetilde LCe^{-\delta_2\widetilde t/2} 。注意到在命题2中我们指出 M 的直径 \widetilde d\leq C\widetilde R_{min}^{-1/2} ,同时由命题4我们有 \widetilde R_{min}\geq\alpha ,因此 \widetilde L\leq\widetilde d\leq C ,从而 \widetilde R_{max}-\widetilde R_{min}\leq Ce^{-\delta_2\widetilde t/2} ,命题得证。



【推论1】在命题1的条件下, |\widetilde {Ric}-\frac13\widetilde r\widetilde g|\leq Ce^{-\delta \widetilde t},\forall\widetilde t\in[0,+\infty) ,其中 C,\delta>0 为不依赖于时间的常数。

【证明】定理1即 |\widetilde {Ric}-\frac13\widetilde R\widetilde g|\leq Ce^{-\delta \widetilde t} ,由定理2有 |\widetilde R-\widetilde r|\leq\widetilde R_{max}-\widetilde R_{min}\leq Ce^{-\delta \widetilde t} ,因此 |\widetilde {Ric}-\frac13\widetilde rg|\leq|\widetilde {Ric}-\frac13\widetilde R\widetilde g|+|\frac13\widetilde R\widetilde g-\frac13\widetilde r\widetilde g|=|\widetilde {Ric}-\frac13\widetilde R\widetilde g|+\frac1{\sqrt3}|\widetilde R-\widetilde r|\leq Ce^{-\delta\widetilde t} ,命题得证。



三、完成一开始 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci流 中主要定理的证明

【注1】我们还应该证明 \widetilde g(\widetilde t)\widetilde t\to+\inftyC^{\infty} 收敛于 M 上的一个 C^{\infty} 度量 \widetilde g(\infty) ,按照 Ricci流解的长时间存在性,有限时间奇点的分析 中的方法,我们应该证明对于

\widetilde g(\widetilde t) 的曲率张量的高阶协变微分估计: \max_{x\in M}|\widetilde \nabla^n\widetilde {Ric}|\leq C_ne^{-\delta_n\widetilde t}, \forall \widetilde t\in[0,+\infty) 。这也属于 数量曲率的梯度估计,曲率张量高阶协变微分的估计 的一部分,有机会再补充完整。下面我们就在 \widetilde g(\widetilde t)\;C^{\infty} 收敛于 M 上的一个 C^{\infty} 度量 \widetilde g(\infty) 的基础上完成主要定理的证明。


【定理3】(主要定理)Ricci曲率张量大于0的3维连通闭流形 M 微分同胚于三维球面 S^3 商掉一个有限群。

【证明】由于 \widetilde g(\widetilde t)\;C^{\infty} 收敛于 \widetilde g(\infty) ,那么 \widetilde {Ric}(\widetilde t),\widetilde R(\widetilde t)\widetilde t\to+\infty 时也分别光滑收敛于 \widetilde {Ric}(\infty),\widetilde R(\infty) 。由推论1, |\widetilde {Ric}-\frac13\widetilde r\widetilde g|\leq Ce^{-\delta \widetilde t},\forall\widetilde t\in[0,+\infty) ,令

\widetilde t\to +\infty|\widetilde {Ric}(\infty)-\frac13\widetilde r(\infty)\widetilde g(\infty)|\equiv0 。注意到 \widetilde r(\infty) 在空间上为常数,因此 (M,\widetilde g(\infty)) 为Einstein流形;而 M 是三维的,故 (M,\widetilde g(\infty)) 为常截面曲率流形。由命题4知 \widetilde r\geq\widetilde R_{min}\geq\alpha>0,\forall\widetilde t\in[0,+\infty) ,令 \widetilde t\to+\infty\widetilde r(\infty)\geq\alpha>0 ,从而(M,\widetilde g(\infty)) 的截面曲率为正的。设 \widetilde MM 的万有覆盖空间,则 \widetilde M 为单连通、常正曲率的黎曼流形,由Myers定理它还是紧的,因而是完备的,因此 \widetilde M 等距同构于三维球面 S^3 ,所以 M 微分同胚于 S^3/\Gamma ,其中 \Gamma\cong\pi_1(M) 为覆盖变换群。由于 \widetilde M 是紧的,所以 \Gamma\cong\pi_1(M) 是有限群,于是 M 微分同胚于 S^3 商掉一个有限群 \Gamma ,定理得证。




参考文献

[1] Hamilton, Richard S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 2, 255–306.

编辑于 2018-06-12

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