Games101 作业5 求解一元二次方程

Games101 作业5 易惑点1 求解一元二次方程

在Games101 Ray Tracing的第一份作业中，源码中有一段计算一元二次方程的代码，与数学中的常见求根公式略有不同，这里做一些解释，以方便有类似疑惑的童鞋参考理解：

bool solveQuadratic(const float &a, const float &b, const float &c, float &x0, float &x1)
{
    float discr = b * b - 4 * a * c;
    if (discr < 0) return false;
    else if (discr == 0) x0 = x1 = - 0.5 * b / a;
    else {
        float q = (b > 0) ?
            -0.5 * (b + sqrt(discr)) :
            -0.5 * (b - sqrt(discr));
        x0 = q / a;
        x1 = c / q;
    }
    if (x0 > x1) std::swap(x0, x1);
    return true;
}

求解一元二次方程 ax^2+bx+c=0 ，数学上定义其求根公式为：

1. 计算 Δ=b^2-4ac

2. 若 Δ>0 ，则存在两个根: x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

3. 若 Δ=0 ，则存在一个根: x=\frac{-b}{2a}

4. 若 Δ<0 ，则不存在根

而代码中的解法则略有不同，原因在于Catastrophic cancellation，具体原理现成资料比较多，不重复造轮子，可以参考：

1. PBRT-E3.9-计算误差的分析与管理（一）

2. 关于 C++ 编程的一道题Milo Yip解答

简单来说，就是因为float浮点数存在误差，在一些特殊的情况下，误差会较大，例如两个float a,b数值相近时，则a-b的误差会较大，a+b的误差较小，那么若求根公式中 b 与 Δ 相近，则其中一个根就会产生较大误差(上述链接2中Milo Yip就做了详细解答)，为了避免产生误差，就会计算其中一个误差小的根 x_{1} ，再根据韦达定理_百度百科 x_{1}·x_{2}=\frac{c}{a}

来计算另一个未知根 x_{2} 。那么求x_{1}时采用 + 还是 - 呢？

• Δ>0 时取决于b的正负性：

1. 当 b\leqslant0 时，设 q=\frac{-b+Δ}{2} ，则 x_{1}=\frac{q}{a} ，根据韦达定理计算 x_{2}= \frac{\frac{c}{a}}{\frac{q}{a}}=\frac{c}{q}
2. 当b\geqslant0时，设q=\frac{-b-Δ}{2} ，则 x_{1}=\frac{q}{a} ，根据韦达定理计算 x_{2}= \frac{\frac{c}{a}}{\frac{q}{a}}=\frac{c}{q}

• Δ=0时，则 x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}

最后，通过swap确保 x_{1} < x_{2} ，由上则与代码解法完成对应。