数据结构和算法(六):前缀、中缀、后缀表达式

数据结构和算法(六):前缀、中缀、后缀表达式

目录

1、人如何解析算术表达式

2、计算机如何解析算术表达式

3、后缀表达式

  ①、如何将中缀表达式转换为后缀表达式?

  ②、计算机如何实现后缀表达式的运算?

4、前缀表达式

  ①、如何将中缀表达式转换为前缀表达式?

  ②、计算机如何实现前缀表达式的运算?

  前面我们介绍了三种数据结构,第一种数组主要用作数据存储,但是后面的两种栈和队列我们说主要作为程序功能实现的辅助工具,其中在介绍栈时我们知道栈可以用来做单词逆序,匹配关键字符等等,那它还有别的什么功能吗?以及数据结构与本篇博客的主题前缀、中缀、后缀表达式有什么关系呢?

1、人如何解析算术表达式

  如何解析算术表达式?或者换种说法,遇到某个算术表达式,我们是如何计算的:

①、求值 3+4-5

  这个表达式,我们在看到3+4后都不能直接计算3+4的值,知道看到4后面的 - 号,因为减号的优先级和前面的加号一样,所以可以计算3+4的值了,如果4后面是 * 或者 /,那么就要在乘除过后才能做加法操作,比如:

②、求值 3+4*5

  这个不能先求3+4的值,因为4后面的*运算级别比前面的+高。通过这两个表达式的说明,我们可以总结解析表达式的时候遵循的几条规则:

①、从左到右读取算式。

  ②、已经读到了可以计算值的两个操作数和一个操作符时,可以计算,并用计算结果代替那两个操作数和一个操作符。

  ③、继续这个过程,从左到右,能算就算,直到表达式的结尾。

2、计算机如何解析算术表达式

  对于前面的表达式 3+4-5,我们人是有思维能力的,能根据操作符的位置,以及操作符的优先级别能算出该表达式的结果。但是计算机怎么算?

  计算机必须要向前(从左到右)来读取操作数和操作符,等到读取足够的信息来执行一个运算时,找到两个操作数和一个操作符进行运算,有时候如果后面是更高级别的操作符或者括号时,就必须推迟运算,必须要解析到后面级别高的运算,然后回头来执行前面的运算。我们发现这个过程是极其繁琐的,而计算机是一个机器,只认识高低电平,想要完成一个简单表达式的计算,我们可能要设计出很复杂的逻辑电路来控制计算过程,那更不用说很复杂的算术表达式,所以这样来解析算术表达式是不合理的,那么我们应该采取什么办法呢?

  请大家先看看什么是前缀表达式,中缀表达式,后缀表达式:这三种表达式其实就是算术表达式的三种写法,以 3+4-5为例

  ①、前缀表达式:操作符在操作数的前面,比如 +-543

  ②、中缀表达式:操作符在操作数的中间,这也是人类最容易识别的算术表达式 3+4-5

  ③、后缀表达式:操作符在操作数的后面,比如 34+5-

  上面我们讲的人是如何解析算术表达式的,也就是解析中缀表达式,这是人最容易识别的,但是计算机不容易识别,计算机容易识别的是前缀表达式和后缀表达式,将中缀表达式转换为前缀表达式或者后缀表达式之后,计算机能很快计算出表达式的值,那么中缀表达式是如何转换为前缀表达式和后缀表达式,以及计算机是如何解析前缀表达式和后缀表达式来得到结果的呢?

3、后缀表达式

  后缀表达式,指的是不包含括号,运算符放在两个运算对象的后面,所有的计算按运算符出现的顺序,严格从左向右进行(不再考虑运算符的优先规则)。

  由于后缀表达式的运算符在两个操作数的后面,那么计算机在解析后缀表达式的时候,只需要从左向右扫描,也就是只需要向前扫描,而不用回头扫描,遇到运算符就将运算符放在前面两个操作符的中间(这里先不考虑乘方类似的单目运算),一直运算到最右边的运算符,那么就得出运算结果了。既然后缀表达式这么好,那么问题来了:

  ①、如何将中缀表达式转换为后缀表达式?

  对于这个问题,转换的规则如下:

  一、先自定义一个栈

package com.ys.poland;
 
public class MyCharStack {
    private char[] array;
    private int maxSize;
    private int top;
     
    public MyCharStack(int size){
        this.maxSize = size;
        array = new char[size];
        top = -1;
    }
     
    //压入数据
    public void push(char value){
        if(top < maxSize-1){
            array[++top] = value;
        }
    }
     
    //弹出栈顶数据
    public char pop(){
        return array[top--];
    }
     
    //访问栈顶数据
    public char peek(){
        return array[top];
    }
     
    //查看指定位置的元素
    public char peekN(int n){
        return array[n];
    }
     
    //为了便于后面分解展示栈中的内容,我们增加了一个遍历栈的方法(实际上栈只能访问栈顶元素的)
    public void displayStack(){
        System.out.print("Stack(bottom-->top):");
        for(int i = 0 ; i < top+1; i++){
            System.out.print(peekN(i));
            System.out.print(' ');
        }
        System.out.println("");
    }
     
    //判断栈是否为空
    public boolean isEmpty(){
        return (top == -1);
    }
     
    //判断栈是否满了
    public boolean isFull(){
        return (top == maxSize-1);
    }
 
}

  二、前缀表达式转换为后缀表达式

package com.ys.poland;

public class InfixToSuffix {
	private MyCharStack s1;// 定义运算符栈
	private MyCharStack s2;// 定义存储结果栈
	private String input;

	// 默认构造方法,参数为输入的中缀表达式
	public InfixToSuffix(String in) {
		input = in;
		s1 = new MyCharStack(input.length());
		s2 = new MyCharStack(input.length());
	}

	// 中缀表达式转换为后缀表达式,将结果存储在栈中返回,逆序显示即后缀表达式
	public MyCharStack doTrans() {
		for (int j = 0; j < input.length(); j++) {
			System.out.print("s1栈元素为:");
			s1.displayStack();
			System.out.print("s2栈元素为:");
			s2.displayStack();
			char ch = input.charAt(j);
			System.out.println("当前解析的字符:" + ch);
			switch (ch) {
			case '+':
			case '-':
				gotOper(ch, 1);
				break;
			case '*':
			case '/':
				gotOper(ch, 2);
				break;
			case '(':
				s1.push(ch);// 如果当前字符是'(',则将其入栈
				break;
			case ')':
				gotParen(ch);
				break;
			default:
				// 1、如果当前解析的字符是操作数,则直接压入s2
				// 2、
				s2.push(ch);
				break;
			}// end switch
		}// end for

		while (!s1.isEmpty()) {
			s2.push(s1.pop());
		}
		return s2;
	}

	public void gotOper(char opThis, int prec1) {
		while (!s1.isEmpty()) {
			char opTop = s1.pop();
			if (opTop == '(') {// 如果栈顶是'(',直接将操作符压入s1
				s1.push(opTop);
				break;
			} else {
				int prec2;
				if (opTop == '+' || opTop == '-') {
					prec2 = 1;
				} else {
					prec2 = 2;
				}
				if (prec2 < prec1) {// 如果当前运算符比s1栈顶运算符优先级高,则将运算符压入s1
					s1.push(opTop);
					break;
				} else {// 如果当前运算符与栈顶运算符相同或者小于优先级别,那么将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中
					// 并且要再次再次转到while循环中与 s1 中新的栈顶运算符相比较;
					s2.push(opTop);
				}
			}

		}// end while
			// 如果s1为空,则直接将当前解析的运算符压入s1
		s1.push(opThis);
	}

	// 当前字符是 ')' 时,如果栈顶是'(',则将这一对括号丢弃,否则依次弹出s1栈顶的字符,压入s2,直到遇到'('
	public void gotParen(char ch) {
		while (!s1.isEmpty()) {
			char chx = s1.pop();
			if (chx == '(') {
				break;
			} else {
				s2.push(chx);
			}
		}
	}

}

  三、测试

@Test
public void testInfixToSuffix(){
 String input;
 System.out.println("Enter infix:");
 Scanner scanner = new Scanner(System.in);
 input = scanner.nextLine();
 InfixToSuffix in = new InfixToSuffix(input);
 MyCharStack my = in.doTrans();
 my.displayStack();
} 

  四、结果

  五、分析

  ②、计算机如何实现后缀表达式的运算?

4、前缀表达式

  前缀表达式,指的是不包含括号,运算符放在两个运算对象的前面,严格从右向左进行(不再考虑运算符的优先规则),所有的计算按运算符出现的顺序。

  注意:后缀表达式是从左向右解析,而前缀表达式是从右向左解析。

  ①、如何将中缀表达式转换为前缀表达式?

  ②、计算机如何实现前缀表达式的运算?


下篇文章:

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编辑于 2018-06-14