简单的交叉熵损失函数,你真的懂了吗?

简单的交叉熵损失函数,你真的懂了吗?

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说起交叉熵损失函数「Cross Entropy Loss」,脑海中立马浮现出它的公式:


L=-[ylog\ \hat y+(1-y)log\ (1-\hat y)]


我们已经对这个交叉熵函数非常熟悉,大多数情况下都是直接拿来使用就好。但是它是怎么来的?为什么它能表征真实样本标签和预测概率之间的差值?上面的交叉熵函数是否有其它变种?也许很多朋友还不是很清楚!没关系,接下来我将尽可能以最通俗的语言回答上面这几个问题。

1. 交叉熵损失函数的数学原理

我们知道,在二分类问题模型:例如逻辑回归「Logistic Regression」、神经网络「Neural Network」等,真实样本的标签为 [0,1],分别表示负类和正类。模型的最后通常会经过一个 Sigmoid 函数,输出一个概率值,这个概率值反映了预测为正类的可能性:概率越大,可能性越大。

Sigmoid 函数的表达式和图形如下所示:


g(s)=\frac{1}{1+e^{-s}}



其中 s 是模型上一层的输出,Sigmoid 函数有这样的特点:s = 0 时,g(s) = 0.5;s >> 0 时, g ≈ 1,s << 0 时,g ≈ 0。显然,g(s) 将前一级的线性输出映射到 [0,1] 之间的数值概率上。这里的 g(s) 就是交叉熵公式中的模型预测输出 。

我们说了,预测输出即 Sigmoid 函数的输出表征了当前样本标签为 1 的概率:


\hat y=P(y=1|x)


很明显,当前样本标签为 0 的概率就可以表达成:


1-\hat y=P(y=0|x)


重点来了,如果我们从极大似然性的角度出发,把上面两种情况整合到一起:


P(y|x)=\hat y^y\cdot (1-\hat y)^{1-y}


不懂极大似然估计也没关系。我们可以这么来看:

当真实样本标签 y = 0 时,上面式子第一项就为 1,概率等式转化为:


P(y=0|x)=1-\hat y


当真实样本标签 y = 1 时,上面式子第二项就为 1,概率等式转化为:


P(y=1|x)=\hat y


两种情况下概率表达式跟之前的完全一致,只不过我们把两种情况整合在一起了。

重点看一下整合之后的概率表达式,我们希望的是概率 P(y|x) 越大越好。首先,我们对 P(y|x) 引入 log 函数,因为 log 运算并不会影响函数本身的单调性。则有:


log\ P(y|x)=log(\hat y^y\cdot (1-\hat y)^{1-y})=ylog\ \hat y+(1-y)log(1-\hat y)


我们希望 log P(y|x) 越大越好,反过来,只要 log P(y|x) 的负值 -log P(y|x) 越小就行了。那我们就可以引入损失函数,且令 Loss = -log P(y|x)即可。则得到损失函数为:


L=-[ylog\ \hat y+(1-y)log\ (1-\hat y)]


非常简单,我们已经推导出了单个样本的损失函数,是如果是计算 N 个样本的总的损失函数,只要将 N 个 Loss 叠加起来就可以了:


L=-\sum_{i=1}^Ny^{(i)}log\ \hat y^{(i)}+(1-y^{(i)})log\ (1-\hat y^{(i)})


这样,我们已经完整地实现了交叉熵损失函数的推导过程。

2. 交叉熵损失函数的直观理解

可能会有读者说,我已经知道了交叉熵损失函数的推导过程。但是能不能从更直观的角度去理解这个表达式呢?而不是仅仅记住这个公式。好问题!接下来,我们从图形的角度,分析交叉熵函数,加深大家的理解。

首先,还是写出单个样本的交叉熵损失函数:


L=-[ylog\ \hat y+(1-y)log\ (1-\hat y)]


我们知道,当 y = 1 时:


L=-log\ \hat y


这时候,L 与预测输出的关系如下图所示:


看了 L 的图形,简单明了!横坐标是预测输出,纵坐标是交叉熵损失函数 L。显然,预测输出越接近真实样本标签 1,损失函数 L 越小;预测输出越接近 0,L 越大。因此,函数的变化趋势完全符合实际需要的情况。

当 y = 0 时:


L=-log\ (1-\hat y)


这时候,L 与预测输出的关系如下图所示:



同样,预测输出越接近真实样本标签 0,损失函数 L 越小;预测函数越接近 1,L 越大。函数的变化趋势也完全符合实际需要的情况。

从上面两种图,可以帮助我们对交叉熵损失函数有更直观的理解。无论真实样本标签 y 是 0 还是 1,L 都表征了预测输出与 y 的差距。

另外,重点提一点的是,从图形中我们可以发现:预测输出与 y 差得越多,L 的值越大,也就是说对当前模型的 “ 惩罚 ” 越大,而且是非线性增大,是一种类似指数增长的级别。这是由 log 函数本身的特性所决定的。这样的好处是模型会倾向于让预测输出更接近真实样本标签 y。

3. 交叉熵损失函数的其它形式

什么?交叉熵损失函数还有其它形式?没错!我刚才介绍的是一个典型的形式。接下来我将从另一个角度推导新的交叉熵损失函数。

这种形式下假设真实样本的标签为 +1 和 -1,分别表示正类和负类。有个已知的知识点是Sigmoid 函数具有如下性质:


1-g(s)=g(-s)


这个性质我们先放在这,待会有用。

好了,我们之前说了 y = +1 时,下列等式成立:


P(y=+1|x)=g(s)


如果 y = -1 时,并引入 Sigmoid 函数的性质,下列等式成立:


P(y=-1|x)=1-g(s)=g(-s)


重点来了,因为 y 取值为 +1 或 -1,可以把 y 值带入,将上面两个式子整合到一起:


P(y|x)=g(ys)


这个比较好理解,分别令 y = +1 和 y = -1 就能得到上面两个式子。

接下来,同样引入 log 函数,得到:


log\ P(y|x)=log\ g(ys)


要让概率最大,反过来,只要其负数最小即可。那么就可以定义相应的损失函数为:


L=-log g(ys)


还记得 Sigmoid 函数的表达式吧?将 g(ys) 带入:


L=-log\frac{1}{1+e^{-ys}}=log\ (1+e^{-ys})


好咯,L 就是我要推导的交叉熵损失函数。如果是 N 个样本,其交叉熵损失函数为:


L=\sum_{i=1}^Nlog\ (1+e^{-ys})


接下来,我们从图形化直观角度来看。当 y = +1 时:


L=log\ (1+e^{-s})


这时候,L 与上一层得分函数 s 的关系如下图所示:



横坐标是 s,纵坐标是 L。显然,s 越接近真实样本标签 1,损失函数 L 越小;s 越接近 -1,L 越大。

另一方面,当 y = -1 时:


L=log(1+e^s)


这时候,L 与上一层得分函数 s 的关系如下图所示:


同样,s 越接近真实样本标签 -1,损失函数 L 越小;s 越接近 +1,L 越大。

4. 总结

本文主要介绍了交叉熵损失函数的数学原理和推导过程,也从不同角度介绍了交叉熵损失函数的两种形式。第一种形式在实际应用中更加常见,例如神经网络等复杂模型;第二种多用于简单的逻辑回归模型。


编辑于 2018-06-21

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