数学分析初学者的笔记——由Stolz定理想到的

数学分析初学者的笔记——由Stolz定理想到的

前言

数学分析对于很多刚入大学的新生来说是一个非常基础也很重要的课程。不过,对不少人来说这门课程是具有一定难度的(对我来说也是>_<),所以我决定不定期地更新一些在数学分析的学习中会遇到的问题,并把它记录在笔记上。

这个笔记中会摘录教科书上的定理证明,但证明会按照我自己的理解重新写一遍,并对于一些我认为有必要叙述的细节我会展开来说。从这个角度上看,本篇笔记适合那些刚刚接触大学数学课程,对极限的定义与数列极限有所了解的同学观看。

目录

  • O' Stolz定理
  • 一些关于它的习题
  • 课后随想

O' Stolz定理

定理1.1 \left\{ y_{n} \right\} 是严格单调增加的正无穷大量,且 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}=a (a可以为有限量、无限量、 +\infty-\infty但不能是 \infty ),则 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_{n}}{y_{n}}}=a

在我们证明定理之前,我们可以先看一下Stolz定理的内容本身:它对 \left\{ y_{n} \right\} 有所要求而对 \left\{ x_{n} \right\}没有要求。而且它并不像L'Hospital Rule那样要求函数(n阶)可导,它甚至不需要你去算函数的导数,因此某种程度上说它有着比L'Hospital更广的适用范围。

证明

当a=0时,由 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}=0 可知, \forall\varepsilon>0, \exists N_{1}, \forall n>N_{1}, s.t. \left| \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}} \right|<\varepsilon

其中由于 y_{n} 严格单增,即y_{n}-y_{n-1}>0 恒成立,因而上式可以写成 \left| x_{n} - x_{n-1} \right|<\varepsilon\left( y_{n}-y_{n-1} \right)

那么,对这个固定的 N_{1}\in N,运用三角不等式我们可以得到如下不等式,其中不等式符号不改变是因为 y_{n} 是一个正无穷大量: \left| x_{n} - x_{N_{1}} \right| \leq \left| x_{n} - x_{n-1} \right|+\left| x_{n-1} - x_{n-2} \right|+...+\left| x_{N_{1}+1} - x_{N_{1}} \right|<\varepsilon\left( y_{n}-y_{n-1} \right)+\left( y_{n-1}-y_{n-2}+...+\left( y_{N_{1}+1}-y_{N_{1}} \right) \right)

\left| x_{n} - x_{N_{1}} \right| \leq \left| x_{n} - x_{n-1} \right|+\left| x_{n-1} - x_{n-2} \right|+...+\left| x_{N_{1}+1} - x_{N_{1}} \right|<\varepsilon\left( y_{n}-y_{N_{1}} \right)

两边同时除以 y_{n} ,并再次使用三角不等式,可得 \left| \frac{x_{n}}{y_{n}}-\frac{x_{N_{1}}}{y_{n}} \right|\leq \left| \frac{x_{n}}{y_{n}} \right|+\left|\frac{x_{N_{1}}}{y_{n}} \right|\leq\varepsilon\left( 1- \frac{y_{N_{1}}}{y_{n}} \right)

又因为这里 n>N_{1} ,且 y_{n} 是严格单增的正无穷大量,因而不等式最右边的 \left( 1- \frac{y_{N_{1}}}{y_{n}} \right) 的值是小于1大于0的,因而对这个不等式我们又可以整理得到 \left| \frac{x_{n}}{y_{n}}-\frac{x_{N_{1}}}{y_{n}} \right|\leq \left| \frac{x_{n}}{y_{n}} \right|+\left|\frac{x_{N_{1}}}{y_{n}} \right|<\varepsilon

接下来,对于固定的 N_{1}, \exists N, s.t. \forall N>N_{1},: \left| \frac{x_{N_{1}}}{y_{n}} \right|<\varepsilon

结合以上两个不等式我们可以得到 \left| \frac{x_{n}}{y_{n}} \right|<2\varepsilon ,因而我们证明了在 a=0 时命题为真。

当a为非零的有限数时,令 x_{n}^{'}=x_{n}-ay_{n} ,则有\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_{n}^{'}-x_{n-1}^{'}}{y_{n}-y_{n-1}}}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_{n}-ay_{n}-x_{n-1}+ay_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}-a=0 利用以上得出的 a=0 时的结论,可得 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_{n}^{'}}{y_{n}}}=0 成立,进而得到 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_{n}^{'}}{y_{n}}}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_{n}-ay_{n}}{y_{n}}}=0 ,即 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_{n}}{y_{n}}}=a 成立

a=+\infty ,对于极限 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}=+\infty ,其中 y_{n} 是严格单增的正无穷大量,我们可以知道 \exists N_{2}, \forall n>N_{2}, x_{n}-x_{n-1}>y_{n}-y_{n-1}>0 ,这说明 x_n 也是严格单增的正无穷大。将这个 x_{n} 应用到 \left\{ \frac{y_n}{x_n}\right\} ,得到 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{y_{n}-y_{n-1}}{x_{n}-x_{n-1}}}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{y_{n}}{x_{n}}}=0 ,又因为 x_{n}, y_{n} 都为正,则可得 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_{n}}{y_{n}}}=+\infty 。当 a=-\infty 时同理。

证毕。

可以看出,Stolz定理的证明没有用很高深的知识,只是一些进阶的构造技巧和大小关系的分析。因而,掌握Stolz定理的证明是数学分析学习过程中的一个关键点。不仅以后在计算过程中该定理会被大量运用,即使在证明中我们也不能忽视与之相关的一些技巧。

比如,在 a=0 情况下的证明中,我们是否能想到利用三角不等式分离分式中的变量,并通过大小关系进一步放缩不等式?对于初学者来说想到这一点有困难,但是在见到类似的证明后我们应当掌握这种方法。

一些关于它的习题

这里仅就一些比较基础的“结论式”的题目做出相应的分析。

例1.1 \lim_{n \rightarrow \infty}{a_{n}}=a ,其中 a 为常数,证明 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}}=a

证明:令 x_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}, y_{n}=n ,由Stolz定理可直接得到。

例1.2 证明:若 a_{n}>0, n\in N^{*} ,且 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=a ,则 \lim_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{a_n}}=a

证:因为 a_{n}>0 ,由极限的保号性可知 a>0 ,则可对等式 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=a 两边取对数,得 \lim_{n \rightarrow \infty}{(lna_{n+1}-lna_{n})}=lna 。利用Stolz定理,令 x_{n}=lna_{n}, y_{n}=n 可以得到 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{lna_{n}}{n}}=lna ,等式两边同时做指数变换可得 \lim_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{a_n}}=a ,证毕。

课后随想

Mathematics is brilliant! 对于刚入学的大一新生来说,数学分析这门课程的重点不是“数学”,即不要只把他当一门普通的数学课,而要侧重于后者,即分析思维。

在各种习题里面我们可以体会到 \varepsilon-N 语言的严谨与精妙之处:要刻画一个变量“无限趋向于”另一个数,只需证明在满足一定条件的时候,它与那个数的距离恒大于零且小于任何给定的实数。而这个条件我们是可以放得很宽的;对于 \left| a_{n} -A \right|<\varepsilon 这个等式我们又可以用三角不等式、柯西不等式进行放缩,因而我们在学习过程中也应注重类似经验的积累和技巧的运用。

编辑于 2018-07-27