傅里叶变换和逆变换简明推理

这只是一篇基础知识点复习文章

给定傅里叶变换:

F(w) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-jwx}dx \quad (1)

我们现在来推理 傅里叶变换的 逆变换公式,考虑:

\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{jwt}dw

将(1)的 傅里叶展开式 代入 ，得到 :

\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-jwx}dx ]e^{jwt}dw

= \int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-jw(x-t)}dw ]f(x)dx

= \int_{-\infty}^{\infty}[2\pi\delta(x-t) ]f(x)dx

= 2\pi f(t)

则有:

f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{jwt}dw

上述推导中我们引入了广义 冲击函数 \delta(x) :

其取值在x不为0 时为0，在x为0时取正无穷大，负无穷到正无穷上的积分为1.且为偶函数

读者可能会怀疑这种函数的数学合理性，实际上我们可以构造一个普通函数 \delta(\theta,t) 使得 \delta(t) 为

\delta(\theta,t) 在 \theta 趋近于无穷时的极限。

综上，我们给出变换式：

F(w) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jwt}dt \quad

f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{jwt}dw

2\pi f(-t) = \int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{-jwt}dw