麦克斯韦方程理论推导
麦克斯韦方程组 (Maxwell Equations)本质上是4个简洁的微分方程，它们一起高度概括了经典电磁学 （静电，静磁与电动力学）, 同时也是爱因斯坦创立狭义相对论的理论基础和灵感来源 （On the Electrodynamics of Moving Bodies, Einstein, 1905)。在麦克斯韦之前静电与静磁已发展完善，法拉第出现之后人们对磁生电有了进一步的认识，只是所有的这些电磁理论都没有用微分方程的形式表达出来， 直到Maxwell。后来在Maxwell 用数学做总结的过程中，发现静磁学中的安培定律不适用于交变的电场 （比如电容器的充放电过程），于是在安培定律中擅自加了一项（史称位移电流），这样不仅满足了数学的要求也解释了电生磁。想要充分理解Maxwell方程，就得从静电，磁学开始以及对向量微积分（Vector Calculus) 的熟练掌握与充分理解。
- 静电学 （Electrostatics)
静电学的基本目的是弄清楚静电荷（们）之间的相互作用，基本上是关于两大定律，即库仑定律(Coulomb's Law)与电场叠加原理 (Superposition Principle)。库仑定律指出了两个点电荷之间的相互作用是成平方反比关系，是由反复的实验而得出的经验定律，
\textbf{F}=k\frac{Qq}{\textbf{r}^2}\hat{\textbf{r}}_0, k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}.\\
其中 Q 为测试电荷， q 为源电荷， \textbf{r} 为 Q 与 q 之间的距离 （坐标系原点为 q ), \hat{\textbf{r}}_0 为方向单位向量，\epsilon_0 为真空中的介电常数。而电场叠加原理指出多个源电荷对测试电荷的作用是矢量之和，两个电荷的相互作用不会因其它电荷的存在而受到影响，即
\textbf{F}=\sum_{N}^{}{\textbf{F}_n}=Q\sum_{N}^{}{\frac{kq_n}{\textbf{r}^2}}\hat{\textbf{r}}_0,\\ （点电荷）
等式同除以 Q 得到电场强度 \textbf{E} 。如果电荷是连续分布的（比如一个不规则的带电块），则把连续的电荷分布切成无数的小源“点电荷” \Delta q，再用电场叠加原理得出总的相互作用 （做积分)。
电通量（Electric Flux)的定义为电场强度 (Electric Field)与它通过的垂直于它的平面的面积之积，它代表了通过该平面电场线（Faraday 的伟大发明！）条数的多少 （因为电场强度大小由电场线的密度决定）。电通量用数学中的矢量点乘（选出垂直的分量）可以准确表达出,即
\Phi=\lim_{N \rightarrow \infty}{}\sum_{N}^{}{}\textbf{E}\cdot\Delta \textbf{a}_n=\int_{S}^{}\textbf{E}\cdot d \textbf{a}_n.\\
（此后的积分都可用类似的极限理解）现在假想一个点电荷 q 被一个球形面包围，通过该球形面的电通量为， \Phi=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\cdot4\pi r^2=\frac{q}{\epsilon_0} , 这说明通过该球面的电通量与球面半径无关，只和球面所包围的电荷量有关，这隐含 \Phi 能代表球面内的电荷量，这是库仑平方反比定律的直接结果，否则 \Phi 将与半径相关。再将一任意形状封闭曲面包裹上述球面，易知通过球面的电场线条数必过该任意曲面，即球面与任意曲面电通量相等，因此上述结论适用于任何封闭曲面 (也可定量证明），再次用到电场叠加原理有
\Phi=\oint_{S}^{}\textbf{E}\cdot d\textbf{a}=\frac{\sum_{}^{}{q}}{\epsilon_0}=\frac{Q}{\epsilon_0},\\
其中 S 为任意封闭曲面， Q 为封闭曲面内的总电荷量。这就是高斯定律的积分形式，麦克斯韦方程组的第一个方程。再用到高斯定理也叫散度定理（Gauss' Theorem，详细简介参阅费曼第二卷），把等式左侧的面积分转化为体积积分， \oint_{S}^{}\textbf{E}\cdot d \textbf{a}=\int_{V}^{}\nabla\cdot \textbf{E}\cdot d{\tau} ，同时 Q=\int_{V}^{}\rho d\tau , 代入原方程得出
\nabla\cdot \textbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}.\\
其中 \rho 为电荷量密度， d\tau 为体积元, 这是高斯定律(Gauss's law)的微分形式。如果让体积V缩至足够小，我们得到 \nabla\cdot \textbf{E} 的物理意义， \nabla\cdot \textbf{E}=\lim_{V \rightarrow 0}{}\frac{1}{V}\oint_{S}^{}\textbf{E}\cdot d\textbf{a} ，即为点电荷附近单位体积的电通量，高斯定律随即表明电荷产生电场, 电荷是电场的来源。
- 静磁学 （Magnetostatics)
与静电学类似，静磁学主要是研究电流之间的相互作用，因为实验观测发现恒定电流产生磁场，并会对运动电荷产生力的作用，这由高中所学的洛伦兹力表达出。在做进一步理论推导前，必须明确所有静磁学都是关于恒定电流 (Steady Current)。所谓恒定就是电流中的电荷不会产生电荷堆积，比如在三维电流中取横截面垂直于电流方向的一个足够小的圆柱面，进去的电荷等于出来的量。首先定义三维中的电流 \textbf{J}=\frac{d\textbf{I}}{da_\bot} ,其中 a_\bot 为垂直于电流的横截面，注意到此时电流为矢量。由局部电荷守恒与散度定理有 I=\oint_{S}^{}\textbf{J}\cdot d\textbf{a}=\int_{V}^{}\nabla\cdot \textbf{J}d\tau=-\int_{V}^{}\frac{d(\rho d\tau)}{dt} ，我们随即得到局部电荷守恒公式 （Continuity Equation), \nabla\cdot \textbf{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t} . 静磁中（恒定电流）等式右侧为0(体积 V 中电荷总量不变），即电流散度为0 ( \nabla\cdot \textbf{J}=0 )。下面介绍静磁中类似于库仑定律的毕奥-萨格尔定律 （Biot-Savart law), 它定量的给出了恒定线性电流（直导线）周围磁场的大小与方向， 也是由反复的实验得出的，
\textbf{B}(\textbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{}^{}\frac{\textbf{I}\times\textbf{r}_0}{r^2}dl=\frac{\mu_0}{4\pi}I\int_{}^{}\frac{d\textbf{l}\times\textbf{r}_0}{r^2}\\
其中第二项至第三项是因为 d\textbf{l} （单位长度向量）和 \textbf{I} 同向，磁场方向由矢量差乘右手定则给出， \hat {\textbf{r}}_0 为方向单位向量，注意到该定律也遵循平方反比关系。对该等式两边同时取散度（Divergance), 再用到一系列vector identities 得出
\nabla\cdot \textbf{B}=0.\\
这是Maxwell 方程组的第二个方程, 它表明不存在如正负电荷一样的磁单极（Magnetic Monopole)。再对原等式两侧同取旋度(Curl)得到
\nabla\times \textbf{B}=\mu_0\textbf{J}(\textbf{r}),\\
这就是Maxwell 之前的安培定律(Ampere's law)， 它表明电流产生磁场。现在对该式两端同时取面积分并用斯托克斯定理（Stokes' Theorem)将面积分转化为线积分有 \int_{S}^{}\nabla\times \textbf{B}\cdot da=\oint_{C}^{}\textbf{B}\cdot d\textbf{l}=\mu_0\oint_{S}^{}\textbf{J}da=\mu_0I , 其中 C 为曲面 S 的边界， I 为封闭曲线 C 所包含的总电流。第二项与第四项一起是安培定律的积分形式，它允许我们轻松的计算有对称性物体的磁场而不用繁琐的Biot-Savart 定律。现在让曲面 S 缩到足够小，就可得到 \nabla\times \textbf{B} 的物理意义，即 \nabla\times \textbf{B}=\lim_{S \rightarrow 0}{\frac{1}{S}\oint_{C}^{}\textbf{B}\cdot d\textbf{l}} , 是电流附近磁场对封闭曲线的线积分。
- 电动力学 （Electrodynamics)
在闭合电路中，驱动电流的有两种力，电源中搬运电荷的力 \textbf{f}_s (单位电荷所受力）和导线中的电场力 \textbf{E} （单位电荷）。现在我们定义电动势 \varepsilon (Electromotive force)为电路中单位电荷所受合力绕闭合电路一圈的路线积分， \varepsilon=\oint_{}^{}(\textbf{f}_s+\textbf{E})\cdot d\textbf{l}=\oint_{}^{}\textbf{f}_s\cdot d\textbf{l} ,注意倒 \textbf{E} 的路线积分为0 （Conservative field）前提是 \textbf{E} 是由静电荷产生的，这也是平方反比关系的直接结果。Faraday 当时做了三个实验，导线切割磁场，磁场动导线不动但磁场强度不变，磁场导线都不动磁场强度改变，均得到了感应电流。第一个实验用电动势定义把电源力换成洛仑兹力可轻松得出感应电动势 （注意 \textbf{B} 永不做功）；第二个交换一下参照系就和第一个一样，但是Faraday 可没有这样想（导线中的电荷速度为0怎么可能受洛仑兹力!?!?), 他认为是巧合，这个问题基本开启了狭义相对论（实际上交换参照系后是电场力在驱动电荷，电场与磁场只是在不同参照系下的对电荷的同一作用！）；第三个实验让他有了本质的发现--变化磁场产生电场（电荷不再是唯一的电场来源！）。在第三种情况下单位电荷受力仅来自感应电场，即 \varepsilon=\oint_{}^{}\textbf{f}\cdot d\textbf{l}=\oint_{}^{}\textbf{E}\cdot d\textbf{l} 。再用磁通量的变化来表示磁场的变化，即 \varepsilon=-\frac{d\Phi_B}{dt} ，结合前式再用到磁通量的定义有 \oint_{}^{}\textbf{E}\cdot d\textbf{l}=-\frac{d\Phi_B}{dt}=-\int_{}^{}\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t}\cdot d\textbf{a} ，再对左项用Stokes' Theorem转化为与右项对应的面积分得到,
\nabla\times \textbf{E}=-\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t}.\\
这就是Maxwell 方程中的第三个，为纪念Faraday称为法拉第定律（Faraday's law)，它指出变化的磁场也能产生电场。
现在回到之前提到的安培定律的微分形式，对该等式两边同时取散度(div ), 数学立刻要求等式左侧为0 （divergence of curl must be 0)，等式右侧为电流的散度在恒定电流下为0 （之前给出证明），但在交变电流下却不是，比如一个电容器连接一个余玄交变电压，在两极板间建立一个封闭圆形曲线 C ，高斯定律指出由于 C 包含的电流 I 为0，周围就没有磁场，但实验表明电容器周围存在磁场！这样安培定律就不适用于非恒定电流， 不过这也是意料之中，毕竟安培定律来自适用于恒定电流的Biot-Savart 定律。直到Maxwell 对之前提到的局部电流守恒公式换了个造型， \nabla\cdot \textbf{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial t}(\epsilon_0\nabla\cdot \textbf{E})=-\nabla\cdot (\epsilon_0\frac{\partial \textbf{E}}{\partial t}) , 如果在安培定律右侧减去这一项不就让散度恒为0了吗? 于是Maxwell 方程的第四个就这样出来了,即
\nabla\times \textbf{B}=\mu_0\textbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \textbf{E}}{\partial t},\\
这样一来在上述电容中间即使 \textbf{J} 为0，也有因变化的电场产生的磁场。该定律表明变化的电场产生磁场。
4个方程集一起就是and God says:
\nabla\cdot \textbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0},\\
\nabla\cdot \textbf{B}=0,\\
\nabla\times \textbf{E}=-\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t},\\
\nabla\times \textbf{B}=\mu_0\textbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \textbf{E}}{\partial t}.\\
