新牛顿-莱布尼兹公式的无极限证明

　　【摘　要】介绍曲边梯形面积的两种经典求法。先从有限分割引出计算原理，再通过无限分割得出新牛顿-莱布尼兹公式，整个证明不涉及任何极限概念。

　　【关键词】曲边梯形；有限分割；无限分割；牛顿-莱布尼兹公式

　　某非线性函数f(x)在[a, z]区间为一段光滑曲线， a-f(a)-f(z)-z 形成一个曲边梯形，求它的面积S 。

　　求解曲边梯形的面积，有比较粗糙的有限分割法（图 1）和比较精致的无限分割法（图2），后者就是定积分法。

1、有限分割法

　　在x轴方向上做有限分割时，[ a,z ]被分割成有限个子区间，整个曲边梯形分割成有限个高而窄的小曲边梯形，如图 1 所示。为了方便，我们设水平方向为均匀分割，每个子区间 [x_{i}, x_{i+1}]的宽度皆为\Delta x 。每个小曲边梯形的顶部都是曲线的一部分，子区间的两端分别对应着两个函数值f(x_{i})和f(x_{i+1}) 。

　　我们在两个函数值f(x_{i})和f(x_{i+1})的中间选择一个数f(\zeta_{i})，并通过这个点作水平线，形成一个规则的小矩形。f(\zeta_{i}) 的选择依据这样的原则：尽量使这个规则小矩形的面积与子区间小曲边梯形的面积相等。这样，总面积 S 就可由 n 个规则的小矩形 —— 高度为 f(\zeta_{i})，宽度为\Delta x ——的和（黎曼和）近似表示，即S\approx\sum_{1}^{n}{f(\xi _i)}\Delta x \tag{1} 　　分割的数量越多，各子区间小矩形的面积越接近小曲边梯形，总面积的误差越小，结果越准确。但有限分割法的工作量很大，效率很低。

　　2、无限分割法

　　在x轴方向上做无限分割时，[a , z] 被分割成无限个子区间，整个曲边梯形分割成无限个高而窄的小矩形，如图 2 所示。为了方便，我们设水平方向为均匀分割，每个子区间的宽度为无穷小量 \delta x ，小矩形的高度随x值而变化，等于曲线的函数值 f(x) 。每个小矩形的宽度为\delta x，高度为f(x)，面积为f(x)\delta x。

　　我们可以方便地将任意一个子区间小矩形的面积写出

　　在（2）式中，等号左边的符号 S_{i} 表示第 i 个待求小矩形的面积。等号的右边，象征性符号 S 表示本公式的目的在于求面积； S 下方与上方的 x_{i} 、 x_{i+1} 表示小矩形在 x 轴上的起点和终点坐标； f(x) 、\delta x 分别表示小矩形的高度、宽度。

　　在希腊字母表中，\Delta 与 \delta 是一对大小写字母。有限分割时，我们用大写的后面加一个x表示子区间小矩形的宽度 (\Delta x)；相应地，无限分割时，我们用小写的 \delta 后面加一个 x 表示子区间小矩形的宽度 ( \delta x)。

　　引入莱布尼兹创建的符号系统对（2）式加以改造，将象征面积的符号“S”拉高、用拉丁字母“d”代替希腊字母“\delta”，并将象征性符号“S”下方、上方之 x_{i} 、 x_{i+1} 的位置向右稍稍移动，于是（2）式就变成了现代微积分的标准形式

S_i=\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx \tag{3}

　　（3）式表示任何一个子区间小矩形的面积。

　　为使得后面的证明看起来更简洁，我们假设拉丁字母表中的字母、特别是d与w之间有无穷多个不同的字母可用。

　　无限分割时， x轴上形成了无穷多个子空间， 轴上各点的位置可按拉丁字母顺序分别标记为a、b、c、d、…… u、v、w、z \\ 　　根据（3）式，依次写出每个子区间小矩形的面积

S_1=\int_{a}^{b}f(x)dx\\ S_2=\int_{b}^{c}f(x)dx\\ S_3=\int_{c}^{d}f(x)dx\\ \quad \\ ……\\ \quad\\ S_{\infty-2}=\int_{u}^{v}f(x)dx\\ S_{\infty-1}=\int_{v}^{w}f(x)dx\\ S_{\infty}=\int_{w}^{z}f(x)dx\\

　　上述无穷多个等式，左边相加，相当于曲边梯形的总面积 S；右边相加，相当于积分子区间的合并与扩展，即

S_1+S_2+S_3+…+S_{\infty-2}+S_{\infty-1}+S_{\infty}=S \tag{4}

\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx+…+\int_{v}^{w}f(x)dx+\int_{w}^{z}f(x)dx=\int_{a}^{z}f(x)dx \tag{5}

　　比较（4）、（5）两式，等号左边相等必导致等号右边相等，于是有

S=\int_{a}^{z}f(x)dx \tag{6}

　　这样，我们就将曲边梯形的总面积 S 表示成了在已知 [a , z ] 区间求定积分的形式。那么，这个定积分的具体数值如何计算呢？

　　3、新牛顿-莱布尼兹公式

　　设 F(x) 为积分表中对应函数 f(x) 的原函数，由于求导过程中引入了无法消除的误差，我们称 F(x) 为 f(x) 的“伪原函数”，（对于非线性函数而言，无误差的“真原函数”无法用简洁的数学解析式准确表示，此处不详细论述），有

　　其中 x_{i} 和 x_{i+1} 分别是子区间小矩形在 x 轴上的坐标。

　　（7）式表明，任何一个子区间小矩形的面积 f(x)dx 总是近似等于伪原函数的子区间函数差 F(x_{i+1})-F(x_{i}) 。

　　由（7）式可知，任意子区间小矩形的面积 S_{i}

Si\approx F(x_{i+1})-F(x_i) \tag{8}

　　从左到右，依次写出每个子区间小矩形的具体面积：

　　又，非线性函数f(x) 在 [a , z] 区间上的曲边梯形总面积 S 是无穷多个子区间小矩形之和

S=S_1+S_2+S_3+……+S_{\infty-2}+S_{\infty-1}+S_{\infty} \\

　　代入具体数值，

S\approx F(z)-F(a) \tag{9}

　　比较（6）和（9），可得

\int_{a}^{z} f(x)dx\approx F(z)-F(a) \tag{10}

　　（10）式即为新牛顿-莱布尼兹公式，此证明未涉及任何有关极限的概念。

　　所得曲边梯形面积 S 为近似值，数据类型为无理数。

　　将（10）式中的“ ≈ ”改为“ ＝ ”即为目前高等数学教材中的牛顿-莱布尼兹公式，它未考虑函数 f(x) 与伪原函数 F(x) 之间的误差，从而使公式带有缺陷。抛弃了荒谬的“极限理论”之后，新牛顿-莱布尼兹公式完全消除了旧公式的缺陷，更准确、更深刻地反映了微积分的本质。 （本文完成于 2018. 9. 11）