从最优化的角度看待Softmax损失函数

作者按:最近博士毕业论文写完了,这段时间比较闲,准备把我博士毕业论文里比较有意思的一些章节拿出来写成博客,有空就写点,不定期更新。

Softmax交叉熵损失函数应该是目前最常用的分类损失函数了,在大部分文章中,Softmax交叉熵损失函数都是从概率角度来解释的(请读者自行搜索),本文将尝试从最优化的角度来推导出Softmax交叉熵损失函数,希望能够启发出更多的研究思路。

一般而言,最优化的问题通常需要构造一个目标函数,然后寻找能够使目标函数取得最大/最小值的方法。目标函数往往难以优化,所以有了各种relax、smooth的方法,例如使用L1范数取代L0范数、使用sigmoid取代阶跃函数等等。

那么我们就要思考一个问题:使用神经网络进行多分类(假设为 C 类)时的目标函数是什么?神经网络的作用是学习一个非线性函数 f(x) ,将输入转换成我们希望的输出。这里我们不考虑网络结构,只考虑分类器(也就是损失函数)的话,最简单的方法莫过于直接输出一维的类别序号 0 \cdots C-1 。而这个方法的缺点显而易见:我们事先并不知道这些类别之间的关系,而这样做默认了相近的整数的类是相似的,为什么第2类的左右分别是第1类和第3类,也许第2类跟第5类更为接近呢?

为了解决这个问题,可以将各个类别的输出独立开来,不再只输出1个数而是输出 C 个分数(某些文章中叫作logit[1],但我感觉这个词用得没什么道理,参见评论),每个类别占据一个维度,这样就没有谁与谁更近的问题了。那么如果让一个样本的真值标签(ground-truth label)所对应的分数比其他分数更大,就可以通过比较 C 个分数的大小来判断样本的类别了。这里沿用我的论文[2]使用的名词,称真值标签对应的类别分数为目标分数(target score),其他的叫非目标分数(non-target score)。

这样我们就得到了一个优化目标:

输出C个分数,使目标分数比非目标分数更大。

换成数学描述,设 z=f(x)\in \mathcal{R}^Cy 为真值标签的序号,那优化目标即为:

\forall j \neq y,\ z_y >  z_j

得到了目标函数之后,就要考虑优化问题了。我们可以给 z_y 一个负的梯度,给其他所有z_j 一个正的梯度,经过梯度下降法,即可使 z_y 升高而 z_j 下降。为了控制整个神经网络的幅度,不可以让 z 无限地上升或下降,所以我们利用max函数,让在 z_y 刚刚超过 z_j 时就停止上升:

\mathcal{L}  =\sum_{i=1,i\neq y}^{C} \max( z_i - z_y, 0)

然而这样做往往会使模型的泛化性能比较差,我们在训练集上才刚刚让z_y 超过 z_j,那测试集很可能就不会超过。借鉴svm里间隔的概念,我们添加一个参数,让 z_yz_j 大过一定的数值才停止:

\mathcal{L}_{hinge} = \sum_{i=1,i\neq y}^{C} \max(z_i - z_y + m, 0)

这样我们就推导出了hinge loss...唔,好像跑题了,我们本来不是要说Softmax的么...不过既然跑题了就多说点,为什么hinge loss在SVM时代大放异彩,但在神经网络时代就不好用了呢?主要就是因为svm时代我们用的是二分类,通过使用一些小技巧比如1 vs 1、1 vs n等方式来做多分类问题。而如论文[3]这样直接把hinge loss应用在多分类上的话,当类别数 C 特别大时,会有大量的非目标分数得到优化,这样每次优化时的梯度幅度不等且非常巨大,极易梯度爆炸。

其实要解决这个梯度爆炸的问题也不难,我们把优化目标换一种说法:

输出C个分数,使目标分数比最大的非目标分数更大。

跟之前相比,多了一个限制词“最大的”,但其实我们的目标并没有改变,“目标分数比最大的非目标分数更大”实际上等价于“目标分数比所有非目标分数更大”。这样我们的损失函数就变成了:

\mathcal{L} = \max( \max_{i\neq y}\{z_i\} - z_y, 0)

在优化这个损失函数时,每次最多只会有一个+1的梯度和一个-1的梯度进入网络,梯度幅度得到了限制。但这样修改每次优化的分数过少,会使得网络收敛极其缓慢,这时就又要祭出smooth大法了。那么max函数的smooth版是什么?有同学会脱口而出:softmax!恭喜你答错了...

这里出现了一个经典的歧义,softmax实际上并不是max函数的smooth版,而是one-hot向量(最大值为1,其他为0)的smooth版。其实从输出上来看也很明显,softmax的输出是个向量,而max函数的输出是一个数值,不可能直接用softmax来取代max。max函数真正的smooth版本是LogSumExp函数(LogSumExp - Wikipedia),对此感兴趣的读者还可以看看这个博客:寻求一个光滑的最大值函数 - 科学空间|Scientific Spaces

使用LogSumExp函数取代max函数:

\mathcal{L}_{lse} = \max\left( \log\left( \sum_{i=1,i\neq y}^{C}{e^{z_i}} \right) - z_y, 0\right)

LogSumExp函数的导数恰好为softmax函数:

\frac{\partial \log\left( \sum_{i=1,i\neq y}^{C}{e^{z_i}} \right)}{\partial z_j} = \frac{e^{z_j}}{\sum_{i=1,i\neq y}^c{e^{z_i}}}

经过这一变换,给予非目标分数的1的梯度将会通过LogSumExp函数传播给所有的非目标分数,各个非目标分数得到的梯度是通过softmax函数进行分配的,较大的非目标分数会得到更大的梯度使其更快地下降。这些非目标分数的梯度总和为1,目标分数得到的梯度为-1,总和为0,绝对值和为2,这样我们就有效地限制住了梯度的总幅度。

LogSumExp函数值是大于等于max函数值的,而且等于取到的条件也是非常苛刻的(具体情况还是得看我的博士论文,这里公式已经很多了,再写就没法看了),所以使用LogSumExp函数相当于变相地加了一定的 m 。但这往往还是不够的,我们可以选择跟hinge loss一样添加一个 m ,那样效果应该也会不错,不过softmax交叉熵损失走的是另一条路:继续smooth。

注意到ReLU函数 \max(x,0) 也有一个smooth版,即softplus函数 \log(1+e^x) 。使用softplus函数之后,即使 z_y 超过了LogSumExp函数,仍会得到一点点梯度让 z_y 继续上升,这样其实也是变相地又增加了一点 m ,使得泛化性能有了一定的保障。替换之后就可以得到:

\begin{aligned} \mathcal{L}_{softmax}  &= \log\left(1 + e^{\log\left( \sum_{i=1,i\neq y}^{C}{e^{z_i}} \right) - z_y}\right)\\ &= \log\left(1 + \frac{\sum_{i=1,i\neq y}^{C}{e^{z_i}}}{e^{z_y}}\right)\\ &= \log\frac{\sum_{i=1}^{C}{e^{z_i}}}{e^{z_y}}\\ &= -\log\frac{e^{z_y}}{\sum_{i=1}^{C}{e^{z_i}}} \end{aligned}

这个就是大家所熟知的softmax交叉熵损失函数了。在经过两步smooth化之后,我们将一个难以收敛的函数逐步改造成了softmax交叉熵损失函数,解决了原始的目标函数难以优化的问题。从这个推导过程中我们可以看出smooth化不仅可以让优化更畅通,而且还变相地在类间引入了一定的间隔,从而提升了泛化性能。

至于如何利用这个推导来对损失函数进行修改和一些进一步的分析,未完待续...


[1] Pereyra G, Tucker G, Chorowski J, et al. Regularizing neural networks by penalizing confident output distributions[J]. arXiv preprint arXiv:1701.06548, 2017.

[2] Wang F, Cheng J, Liu W, et al. Additive margin softmax for face verification[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2018, 25(7): 926-930.

[3] Tang Y. Deep learning using linear support vector machines[J]. arXiv preprint arXiv:1306.0239, 2013.

编辑于 2019-05-17

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