谁在用“极限理论”蒙骗大学生？
【摘 要】通过对几个典型案例的分析，揭露唯心主义数学家们滥用“极限理论”弄虚作假、颠倒黑白、毒害青年、欺骗公众的卑劣行径。
【关键词】极限理论；无限循环小数；高等数学；二分法
在当前流行的高等数学教材中，“极限理论”被数学大佬们“钦定”为微积分的“基础”。学微积分，首先学“极限”概念。实际情况是，无论大学生们如何努力，对“极限”概念总是无法准确理解与掌握，进而导致考试时大面积挂科。学生叫苦连天，家长愁眉不展。高等数学，成了大学生们挥之不去的噩梦。无论你所在的学校是 985 、 211 ，还是一本二本甚至专科，普天之下，概莫能外。
“极限理论”在哪里出了问题呢？下面通过几个典型案例来寻找答案。
1、“极限值”的“不可达性”
【案例 1 】当 x →∞ 时，双曲函数 y =\frac{1}{x} 存在着一个“极限”： 0 。无论x取多大的值， \frac{1}{x} 都不可能是 0 。因此，作为“极限值”的 0 是函数 y 可近而不可及的理想和目标。把这种状态写成“极限表达式”，就是
\lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{1}{x}}=0 \tag{1}
式（1）成立就意味着承认下面的事实
\frac{1}{x}\ne0 \tag{2}
只要式（1）成立，则式（2）必然成立。
【案例 2 】当 x →1 时，双曲函数 y = \frac{1}{x-1} 存在着一个“极限”： ∞ 。无论 x 如何接近 1 ，取什么具体数值，只要 \frac{1}{x-1} 仍然有意义，它就不可能是 ∞ 。作为“极限值”的 ∞ 是函数 y 可近而不可及的理想和目标，把这种状态写成“极限表达式”，就是
\lim_{x \rightarrow 1}{\frac{1}{x-1}}=\infty \tag{3}
式（3）成立就意味着承认下面的事实
{\frac{1}{x-1}}\ne\infty \tag{4}
只要式（3）成立，则式（4）必然成立。
综合以上两个案例的分析，我们可以得到一个重要结论：
“极限”符号 lim 后面的函数 f (x) 永远不可能与“ = ”后面的“极限值” A 相等。也可以简洁地表达为：“极限值”具有“不可达性”。
所以，“极限”的一般表达式
\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=A \tag{5}
总是隐含地伴随着另一个不等式
f(x)\ne A \tag{6}
二者相辅相成，只要式（5）成立，则式（6）必然同时成立。
这是对“极限”概念的正确解读，没有任何疑问。
2、无限循环小数 0.999…
【案例 3 】让我们做一个思想实验。
宇宙诞生到现在，已经过去了 137 亿年。假设在宇宙诞生的第一天，某个地方有一架托盘天平，左边一个盘子，右边一个盘子，能够称出哪一侧重、哪一侧轻。这个天平特别灵敏，哪怕极其微小的重量，都能准确地反映出来。哪一侧重，天平的指针就指向哪一侧。
实验开始时，我们在天平的右托盘中加上 1kg 的物体，之后每天一次，在天平的左托盘中加入不同质量的物体。
第 1 天，左侧加 0.9\ kg 。 0.9 < 1 ，天平左轻右重，指针偏右；
第 2 天，左侧再加 0.09\ kg 。 0.99 < 1 ，天平左轻右重，指针偏右；
第 3 天，左侧再加 0.009\ kg 。 0.999 < 1 ，天平左轻右重，指针偏右；
……
第 n 天，左侧再加 0.000…0009\ kg （共有 n 个 0 ）。 0.999…999 表示小数点之后共有 n 个 9 ， 0.999…999 < 1 ，天平左轻右重，指针偏右；
……
第 ∞ 天，左侧再加 0.000…0009\ kg （共有 ∞ 个 0 ）。 0.999… 表示小数点之后共有 ∞ 个 9 ，它是一个特殊的无限循环小数。 0.999… < 1 ，天平左轻右重，指针偏右；
根据以上实验，我们必然得到这样的结果
0.999… < 1 \tag{7}
也就是说，无论我们在左边的托盘再加多少次、再加多久，都不会使天平达到平衡，都不会使无限循环小数 0.999… 等于 1 。
式（7）不是理论推导出来的，而是实践得到的真实结果，因此不会有任何错误，这是任何人也无法否认的。
不仅我们人类能够做这个实验，而且宇宙中其他智能文明也能够做这个实验，并且一定会得到同样的结果。
因此，式（7）不仅仅是人类的真理，也是宇宙的普遍真理。
如果有人根据什么理论得到了与式（7）不一致的或者冲突的结果，那么那个理论一定是错误的。
理论是人创造的，而事实是大自然创造的。人可能犯错，但大自然绝不会犯错。在事实面前，一切理论都要让步。
无论创造理论的人名气有多大，无论他是张麻子、李麻子还是王麻子。也无论那个理论已经存在了多久，教材有多少个版本，出版社重印了多少次，获得了多少奖励和荣誉证书。
总之，“ 0.999…<1 ”是宇宙真理，是无条件的、绝对的自然规律，它不受时间、地点和其它因素的任何限制，没有例外。
在数学中，无限循环小数 0.999… 可以看作一个无穷级数的和
f(n)=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+…+\frac{9}{10^n}+… \tag{8}
当 n 有限时， f (n) 是有限小数，有理数；
当 n →∞ 时， f (n) 是无限小数 0.999… ，无理数；
“部分小于整体”是欧几里德几何公理之一，也是人类几百万年来的实践结果，是不可动摇的真理。在初等数学中， 0.999… 是小数，表示部分； 1 是整数，表示整体。“ 0.999… < 1 ”是“部分小于整体”的一个特解，形象生动，旗帜鲜明，具有极强的说服力。
\quad \; \;0.999… 总是比 1 小那么一点点，它永远不等于 1 。这一事实用“极限”概念可以表示为
\lim_{n \rightarrow \infty}{0.999…}=1 \tag{9}
式（9）中虽然有等号“ = ”出现，但按照“极限理论”的本质，它并不表示“ 0.999… = 1 ”。恰恰相反，它表示的是“ 0.999…≠1 ”，这与我们前面得到的“ 0.999… < 1 ”是完全一致的。
3、“极限”概念的滥用
【案例 4 】虽然数学家们承认无限循环小数 0.999… 是无穷级数的和，但经他们之手应用了“极限理论”之后，得到的却不再是无穷级数的和，而是另外一种东西——
\begin{align} 0.999…& = \frac{9}{10}+ \frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+…\\ & = \lim_{n \rightarrow \infty}{(\frac{9}{10}+ \frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+…+\frac{9}{10^n})}\\ & = \frac{9}{10}\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{10}+ \frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+…+\frac{1}{10^{n-1}})}\\ & = \frac{9}{10}\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1-\frac{1}{10^n}}{1-\frac{1}{10}}}\\ &=\frac{9}{10}\cdot \frac{10}{9}\lim_{n \rightarrow \infty}{(1-\frac{1}{10^n})}\\ &=1-0\\ &=1 \end{align} \tag{10}
式（10）引自高等学校教材《微积分》上册（闫站立编）“写给学生的话”，高等教育出版社，2007 年 5 月第 2 版。
我们惊讶地发现，与式（9）相比，数学家们在式（10）中变起了魔术。他们不是在计算的初始加入“极限”专用符号 lim 和 n→∞ ，而是在计算进行到中间阶段的时候偷偷地加进去。这样一来，整个计算就产生了一个完全错误的等式：
0.999… = 1 \tag{11}
这一“等式”非常有名，通常称为“部分等于整体”，是近代数学最“伟大”的“成就”之一。
在计算的开始，我们求的本来是“无穷级数和”；中途被数学家们做过手脚之后，最后结果却变成了“无穷级数和的‘极限’”。
众目睽睽之下，经过人类几百万年亲身实践验证无误的真理“部分小于整体”就这样被“推翻”了，代之以荒谬绝伦的“部分等于整体”。
这是明目张胆的作弊，赤裸裸的欺诈！
类似的案例还有很多，比如芝诺的“二分法”悖论。
【案例 5 】一个人从 0 点出发，目标是终点 1 ，第一天走了全长的一半（ \frac{1}{2} ），第 2 天走了剩下部分的一半（ \frac{1}{4} ），第 3 天又走了剩下部分的一半（ \frac{1}{8} ），第 4 天又走了剩下部分的一半（ \frac{1}{16} ）。总之，他每天总要对剩下的路程进行一次估测，然后只走一半就停下来。
按照这样的走法，即使走到猴年马月、地老天荒，他也走不到 1 的位置，这与我们人类的经验、预期完全一致。这一过程可用数学式表示
\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…<1 \tag{12}
“小于 1 ”意味着“走不到”，“等于1”意味着“走得到”。
“走不到”完全正常，“走得到”才是活见鬼。
本来没有任何争议的事实，被数学家们借用“极限理论”做过手脚之后，就成了下面的样子
\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1-{\left( \frac{1}{2} \right)}^n}{1-\frac{1}{2}}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\left( 1-\frac{1}{2^n} \right)}}=1 \tag{13}
式（12）和式（13）是完全相反的结论。式（13）的最左端是“无穷级数和”，右端却被偷偷换成了“无穷级数和的‘极限’”。
在实践中根本走不到终点（ < 1 ），数学家们却在“理论上”证明了能够走到终点（ = 1 ）。
式（12）是实践的结果，式（13）是应用了某种“理论”的结果。
二者的冲突，是理论与实践的冲突。
是理论服从实践，还是实践服从理论？这是个哲学问题，立场问题。
主张理论服从实践的，是唯物主义。
主张实践服从理论的，是唯心主义。
唯物主义者一定会选取式（12）作为自己的答案；而唯心主义者一定会选取式（13）作为自己的答案。
只要这个世界上还存在着唯物主义和唯心主义的斗争，总会有人选择式（12），也总会有人选择式（13），没什么值得奇怪的。
4、结 论
事实证明，唯心主义数学家滥用所谓的“极限理论”，通过中途掉包、掺杂使假、虚张声势、贼喊捉贼的卑鄙手段，颠倒黑白，混淆是非，制造了一个又一个耸人听闻的歪理邪说，并且给它们披上“科学”的外衣，哗众取宠，欺世盗名，祸国殃民。他们让数学失去“确定性”，并且脱离自然科学，堕落为空洞乏味的心学、玄学、神学。在这一波黑暗污浊的历史逆流中，拙劣的“极限理论”扮演了极不光彩的角色，堕落为骗子们得心应手的诈骗工具。
数学骗子们为了打开高校学生这个巨大的消费市场，明明知道自己贩卖的“部分等于整体”（ 0.999… = 1 ）是地地道道的假货，仍然昧着良心，极力诋毁、抹黑“部分小于整体”（ 0.999… < 1 ）这一亘古不变的宇宙真理，让许多学生心理失常，精神紧张，造成高等数学考试大面积挂科，骗子们是毒害青年的罪魁祸首。
盛极而衰，物极必反，谎言总是要被戳穿的。随着时间的推移，越来越多的大学生们已经觉悟过来，逐渐认清了骗子们的丑恶面目。曾经风光无限的“极限理论”，如今气息奄奄、日落西山，行将就木。
肆虐科学舞台 300 年的超级骗局，终于要散场了！
2018. 9. 20