8.4 移动平均模型

移动平均模型不是在回归中使用预测变量的过去值，而是在类似回归的模型中使用过去的预测误差。

εt是白噪声，我们称之为移动平均模型，MA(q)，q阶移动平均模型，当然，我们不会也不能观测εt的值，所以它通常不是通常意义上的回归。

请注意yt的每个值可以被认为是过去几个预测误差的加权移动平均值。但是，移动平均模型不应与我们在第6章中讨论的移动平均线平滑相混淆。

• 移动平均模型用于预测未来值；
• 移动平均平滑用于估计过去值的趋势周期；

上图表示MA不同参数的图例，

其中左图是MA(1)，yt=20+εt+0.8εt−1yt=20+εt+0.8εt−1

其中右图是MA(1)，yt=εt−εt−1+0.8εt−2yt=εt−εt−1+0.8εt−2.

εt是正态分布，均值为0，方差为1

比较两图，参数不同，得到的系数θ结果也不同，表示不同的模式，反观AM模型，εt误差的方差只是改变比例，但是模式是保持不变的。

那么，稳态的AR模型可以用MA(∞)模型表示，例如，用重复项公式，可以这样改写：

随着k的增大，ϕk1ϕ1k在减小。因为ϕ大于0，小于1.

如果MA增加一些限制条件，那么相反的结果也是成立的，称之为可逆，也就是说，可以将任何可逆的MA作为AR的过程，重点要说的是，这样约束还有其他特性。

例如，考虑的MA（1）过程中，

在其AR（∞）表示，最近的错误可被写为当前和过去观测值的线性函数。

• |θ|>1，远处的权重大
• |θ|=1，等权重
• |θ|<1，符合理想模型。

结论是，必须用|θ|<1作为约束条件。

其他模型的可逆性约束类似于平稳性约束。

• 对于MA（1）模型：- 1 < θ 1 < 1.
• 对于MA（2）模型：- 1 < θ 2 < 1 ， , θ 2 + θ 1 >-1， θ 1 - θ 2 <1

更复杂的情况保持q ≥ 3q≥3。同样，R在估算模型时会处理这些约束。