如何理解三大微分中值定理?

如何理解三大微分中值定理?

微分中值定理是很重要的基础定理,很多定理都是以它为基础进行证明的。

1 罗尔中值定理

1.1 直觉

这是往返跑:

可以认为他从A 点出发,经过一段时间又回到了A 点,画成s-t (位移-时间)图就是:

根据常识,因为要回到起点,中间必定有速度为0的点:

拳击比赛中,步伐复杂:

但不论怎样,只要最后回到起点,中间必定有速度为0的点:

这就是罗尔中值定理。

1.2 罗尔中值定理

设函数满足以下三个条件:
  • f(x) 在闭区间[a,b] 上连续
  • f(x) 在开区间(a,b) 上可导
  • f(a)=f(b)
则存在\xi \in (a,b) ,使得f'(\xi)=0

f(x) 在闭区间[a,b] 连续是必须的,否则有可能没有f'(\xi)=0

在开区间(a,b) 可导也是必须的:

1.3 拓展

可能有的同学觉得,定理中的条件“f(x) 在闭区间[a,b] 连续、在\color{ForestGreen}{开区间(a,b)} 可导”比较古怪,为什么不是“f(x) 在闭区间[a,b] 连续、在\color{Magenta}{闭区间[a,b]} 可导”?

大概有两个原因,首先,“开区间可导”条件更弱,包含了“闭区间可导”;其次,”开区间可导”的函数并不一定就“闭区间可导”,比如:

 f(x)=  \begin{cases}      x(1-x)\sin\frac{1}{x(1-x)},x\in(0,1)\neq 0\\     0, &x=0,1  \end{cases} \\

此函数在图像如下:

此函数就是在[0,1] 连续,(1,0) 可导,在端点x=0,1 处导数不存在(类似于x\sin\frac{1}{x}在0点处不可导,可自行证明)。

2 拉格朗日中值定理

来看下交通管理中的区间测速:

时间a 采集到汽车的位移为f(a) ,时间b 采集到汽车的位移为f(b)

可以据此算出平均速度为:

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\

比如算出来平均速度为70km/h ,平均速度是由瞬时速度叠加的结果,那么路程中的瞬时速度可能为:

  • 匀速前进:那么整个路程的瞬时速度必然全为70km/h
  • 变速前进:整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于70km/h 的情况

下面是变速前进的速度变换动画(蓝色为大于,闪烁为平行即等于,绿色为小于):

如果限速60km/h ,那么根据汽车的平均速度为70km/h ,就可以判定路程中必然至少有一个点超速。

约瑟夫·拉格朗日伯爵,法国籍意大利裔数学家和天文学家,以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。

2.1 拉格朗日中值定理

设函数满足以下两个条件:
  • f(x) 在闭区间[a,b] 上连续
  • f(x) 在开区间(a,b) 上可导
则存在\xi\in (a,b) ,使得f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

这个定理的几何意义就是,至少存在一点的切线与端点的连线平行;物理意义是,至少存在一点的速度与平均速度相等:

把它旋转一下,使得f(a)=f(b)

得到的就是罗尔中值定理,可见罗尔是拉格朗日的特例:

3 柯西中值定理

3.1 二维空间中的运动

之前讨论的是一维空间中的运动,下面来看看二维空间中的运动(关于这点,可以参看课程中“参数方程求导与相关变化率”这一节)。假设参数方程:

 \begin{cases}     x=g(t)\\     y=f(t) \end{cases} \\

描述了一个二维空间中的运动:

为了方便描述,令A=(g(a),f(a))B=(g(b),f(b)) ,那么上图描述的就是a 时刻在A 位置,b 时刻运动到了B 位置。向量\boldsymbol{a} 就表明了最终的运动方向:

仔细分析此运动过程,刚开始的时候,速度\boldsymbol{v} 的方向与\boldsymbol{a} 相反,也就是说点是反着走的:

所以需要不断转弯调整:

最终才能到达目的地:

容易想象,在转弯调整的过程中,必然会有\boldsymbol{v}\boldsymbol{a} 同向的时刻,比如t=\xi 时刻:

那么两者所在直线必然也平行:

此时,\boldsymbol{a} 所在直线的斜率:

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\\

以及\boldsymbol{v} 所在直线的斜率(根据参数方程的求导法则):

\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\

必然相等:

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\

这就是柯西中值定理。

3.2 定理

设函数f(x),g(x)满足以下条件:
  • f(x),g(x) 在闭区间[a,b] 上连续
  • f(x),g(x) 在开区间(a,b) 上可导
  • \forall x\in(a,b) 有:g'(x)\neq 0
则存在\xi \in (a,b) ,使等式
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\
成立。


可以把f(x),g(x) 组合成参数方程:

 \begin{cases}     x=f(t)\\     y=g(t) \end{cases} \\

这样柯西中值定理就有类似于拉格朗日中值定理一样的几何意义:

如果:

 \begin{cases}     x=x\\     y=f(x) \end{cases} \\

那么柯西中值定理就变为了拉格朗日中值定理,所以拉格朗日又是柯西的特例。

4 总结

三大微分中值定理的联系与区别:

本文为微分中值定理的节选,因为格式问题,还有一些证明、扩展没有贴上来,可以到原文去查看。

编辑于 2018-10-25

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