统计量–效应量的相互转换 | 元分析基础
元分析（meta-analysis）是汇总不同研究结果、考察平均效应大小的常用方法。
元分析一般基于效应量（effect size）而非统计量（test statistics）。
然而，很多文献（尤其是一些老文献）只报告了统计量（如t、F、χ²）及其p值，可能并没有报告效应量（如Cohen's d、r、R²、η²），或者报告的效应量在类型上存在差异，无法直接汇总。
本文将为大家梳理总结“如何把文献中的统计量转换为不同类型的效应量”，以方便元分析的实际操作。
效应量的种类
在元分析中，我们一般选择标准化的效应量，而不是非标准化的，因为只有这样，不同研究的效应量才可以比较（Standardized and unstandardized effect sizes - Wikipedia）。
标准化的效应量可以分为三大家族：
- d-family（difference family）：如Cohen's d、Hedges' g
- r-family（correlation family）：如Pearson r、R²、η²、ω²、f
- OR-family（categorical family）：如odds ratio (OR)、risk ratio (RR)
其中，我们可能最熟悉Cohen's d 和Pearson r，而在G*Power软件里面，f 也是一个常用的效应量（注意，并不是大写的F，F 是统计量而非效应量）。
事实上，这三类效应量之间本身就可以相互转换（详见下一节的公式）。下面我们将着重关注d、r、f、OR这几个常用效应量。
把统计量转换为效应量
由于很多文献（尤其是老文献）通常只报告统计量（如t、F、χ²）及其p值，而且并不总能找到均值、标准差等原始的描述统计量，所以在做元分析的时候，我们需要把统计量转换为效应量。
闲话不多说，直接上公式：
r ：
r=\sqrt{\eta_p^2}=\sqrt{\frac{f^2}{f^2+1}}=\sqrt{\frac{d^2}{d^2+4}}=\sqrt{\frac{t^2}{t^2+df}}=\sqrt{\frac{F\cdot df_1}{F\cdot df_1+df_2}}=\sqrt{\frac{\chi^2}{N(k-1)}}
（均需要加±，根据实际情况判断正负）
（其中k = 列联表的行数与列数中的最小值；对于最常见的2 × 2列联表，k – 1 = 1）
d ：
d=\pm2f=\frac{2r}{\sqrt{1-r^2}}=t\cdot\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}或\frac{2t}{\sqrt{N}}_{(n_1=n_2=\frac{N}{2})}^{(独立样本)}=\frac{t}{\sqrt{N}}^{(配对样本)}=ln(OR)\cdot\frac{\sqrt{3}}{\pi}
f ：
f=\sqrt\frac{R^2}{1-R^2}(=\sqrt\frac{r^2}{1-r^2})=\left| \frac{d}{2} \right|
* 注：
1. 与OR相关的转换存在一定的误差，主要在于 \frac{\pi}{\sqrt{3}} 是二分类Logistic回归中因变量标准差的近似估计值。
2. 在回归分析中，如果原始文献报告了非标准化的回归系数b及其标准误SE，则可以通过计算 t=\frac{b}{SE} 来算出效应量r 。
3. 在方差分析中，\eta_{p}^{2}=\frac{SS_{effect}}{SS_{effect}+SS_{error}}=\frac{F\cdot df_{1}}{F\cdot df_{1}+df_{2}}=r^{2} ，也就是说只用F 值及其两个自由度也能直接算出偏η²（partial η²）。
4. “t-to-r”转换是“F-to-r”转换的一个特例，即当 df_{1}=1 时，t^{2}=F 。
5. R语言的psych包拥有相关的转换函数，可直接调用，函数包括——d2r、r2d；t2r、r2t；t2d、d2t；chi2r、r2chi。
6. 关于不同效应量之间的相互转换，也可以参考一个在线小程序（Computation of different effect sizes like d, f, r and transformation of different effect sizes: Psychometrica）。
7. 关于效应量大小的解释，同样可以参考上面这个链接中的一个表格。
如有错误，欢迎指正！
参考资料：
Introduction to Meta-Analysis (Borenstein, Hedges, Higgins, & Rothstein, 2009)
