拉普拉斯变换中的S是个什么鬼?

拉普拉斯变换中的S是个什么鬼?

A good way of thinking of where the Laplace transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series.(一个比较好的关于Laplace变换的解释方法是从幂级数(Power Series)入手。)
— —Arthur Mattuck (原MIT数学系主任)

学过控制的都知道拉氏变换(Laplace Transform),其可以将微分方程转化为代数方程进行运算,使得求解大为简化。

但你们是不是也有这样的疑问:拉氏变换中的 S 是怎么来的?皮埃尔-西蒙·拉普拉斯[1]当年为啥就能想出个这样的数学变换公式?

Pierre-Simon Laplace (1749–1827)图片来源:(Wikipedia)

我是自从接触拉氏变换就一直有这样的疑问,直到有一天,看了Arthur Mattuck [2]的微分方程才恍然大悟。更有意思的是,导师有一天也问了这样一个看似无厘头的问题,还好当时有所准备。

Arthur Mattuck

如果学过高等数学,都应该知道:一个幂级数可以写为如下形式:

A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n}x^n \tag{1}

将其展开其实就是: A(x) = a_0+a_1x^1+a_2x^2+...+a_nx^n

如果将其中幂级数的系数 a_n 看成一组离散的函数,则上式 (1) 也可以写为:

A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a(n)x^n} \tag{2}

通过把 a(n) 看作一组关于变量 n 的离散函数,式 (2) 相当于描述了函数 A(x) 的构造过程。

输入是离散函数数列 \{a_0, a_1, a_2, ⋯, a_n\} ,输出则是由多项式构成的函数 A(x) 。即,只要输入一个 \{a_0, a_1, a_2, ⋯, a_n\} 数列,就可以输出一个函数 A(x) ,其中, x 是输出函数 A(x) 的自变量。

现在,举一个例子,如果取 a(n)=1 ,即 \{a_0=1, a_1=1, a_2=1, ⋯, a_n=1\} ,那么将得到输出为:

A(x)=1+x+x^2+x^3+\cdots \tag{3}

有人说式 (3) 最后等于 \frac{1}{1-x} ,但这么说其实不准确,因为并不是对于所有的 x 都成立,只有当它是一个收敛级数时才成立!

而式 (3)x 的收敛域为 x∈(-1,1) ,所以当满足收敛条件时,式 (3) 可以改写为:

A(x)=1+x+x^2+x^3+\cdots =\frac{1}{1-x},\ \ -1<x<1 \tag{4}

再举一个例子,如果 a(n)=\frac{1}{n!} ,即 \{a_0=1, a_1=\frac{1}{1!}, a_2=\frac{1}{2!}, ⋯, a_n=\frac{1}{n!}\} ,则有:


A(x)=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots=e^x \tag{5}

在这个例子里,对于任意 x 均成立,即收敛域为 ℂ其实式 (5) 就是函数 e^x x=0 处的泰勒展开,或者说是函数 e^x 的麦克劳林级数

从上面的例子可以看出,取一个定义在正整数上的离散函数,然后进行无穷次的相加操作,结果却能够产生一个连续函数。而且注意其中的离散函数 a_n 的变量为 n ,相加得出的却是关于变量 x 的连续函数。

现在,让离散求和变成连续求和,即不再是变量 n=0, 1, 2, 3… ,而是另外定义一个变量 t ,并且有 0≤t<∞ ,即 t 可以为 [0,∞) 中的任意数。

如果想用 t 取替代 n ,显然不能再用上面处理离散序列的办法进行求和,而是通过积分操作。即:

A(x)=\int_{0}^{\infty}a(t)x^tdt \tag{6}

(6) 与式 (1) 的区别在于:用 t 取替代了 n ;用积分符号替代了累加符号。

我们可以保留这种形式,但是没有数学家喜欢这样做,而且工程师也很少会这样做。因为在做微积分运算时,没有人希望其中有一个指数的底是 x 之类的积分或微分项,这看起来很头疼。而唯一方便的是取指数的底数为自然常数 e 。只有 e 才是人们喜欢用来积分或微分,因为 e^x 在微积分时可以保证自身不变函数,详见:《自然底数e怎么就“自然”了?》和《为什么e^x 的导数是还是其自身?》。

因此,将以 x 为底数的指数替换成以 e 为底数的指数形式:

A(x)=\int_{0}^{\infty}a(t)(e^{\ln x})^tdt \tag{7}

既然写出这个积分当然希望其可解,或者说收敛。而只有当 x 是一个小于 1 的数时,即自然指数函数的幂为负数时,该积分才有可能收敛,所以这里要求 x<1 。作为对数,还需要满足 x>0 (对数的详细介绍请见:《为什么说"对数"可以延长天文学家寿命?》),所以这里有 0<x<1 。显然,当 0<x<1 时, lnx<0

lnx 这个变量看起来貌似有点复杂,我们何不再用一个符号去代替它呢?

那么就用 s 吧!

s = -lnx -s = lnx ,因为上面说了 lnx<0 ,取 -s = lnx 的话, s 就总为正数了,处理正数当然更符合人们的习惯。另外,用 f (x) 代替 a(x) ,这样看上去更像我们熟悉的函数形式。这些替换只是为了修(hao)饰(kan),现将这些替换代入式 (7) 中,得:

F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt \tag{8}

通过这种方式,我们得到了Laplace Transform

如果用符号表示这种变换,可以将式 (8) 写为:

F(s)=\mathscr{L}[f(t)] \tag{9}

这就是 Laplace 变换,当输入一个关于 t 的函数,将得到一个关于 s 的函数。

最后提一句,这里说的是变换,而对于一个算子来说,就不会是这样,变换和算子的最本质区别在于,经过算子运算,变量没有变,比如微分就是一种典型的算子。经过变换则会改变变量的形式,类似的例子可见:《如何给文科生解释傅里叶变换?》。

参考

  1. ^Pierre-Simon Laplace.  https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace
  2. ^Differential Equation,Arthur Mattuck
编辑于 05-04

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