"上帝公式"(欧拉公式)真的神到无法触碰?

"上帝公式"(欧拉公式)真的神到无法触碰?

不论是高等数学还是大学物理,欧拉公式都如影随形。因为其重要性和划时代意义,Euler Formula(欧拉公式)有着很多了不起的别称,例如“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”等等。

Leonhard Euler (1707-1783) (图片来源:Wikipedia)

欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼(Richard Phillips Feynman)将欧拉公式称为:“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”。

法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾这样评价欧拉对于数学的贡献:“读欧拉的著作吧,在任何意义上,他都是我们的大师”。


这个发表于公元1748年的数学公式,将三角函数复指数函数巧妙地关联了起来。


其中, e为自然常数, i 为虚数, x 则是以弧度为单位的参数(变量)。


尤其是当参数 x 等于 π 的时候,欧拉公式可简化成为:


上式将5个微妙且看似无关的数学符号 e、i、π、0、1 紧密地联系了起来,其美妙之处让人称绝。 e、i、π 弧度制的详细介绍及直观推导请分别参见:

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莱昂纳德·欧拉简介

莱昂纳德·欧拉(Leonhard Euler) [1]1707年生于瑞士巴塞尔,他的父亲保罗(Paul Euler)是一位基督教牧师,他父亲原本也想将欧拉培养为一名牧师。


但巧的是他的父亲与伯努利家族关系很不错,而伯努利家族是17〜18世纪瑞士的一个赫赫有名的家族,其中出了很多著名的数理科学家。伯努利原籍比利时安特卫普,1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福,最后定居瑞士巴塞尔。其中以雅可比·伯努利(Jacob Bernoulli),约翰·伯努利(Johann Bernoulli),丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)这三人的成就最大。雅可比·伯努利是约翰·伯努利的哥哥,也就是首此发现自然常数e 的那位。而丹尼尔·伯努利是约翰·伯努利的儿子。

约翰·伯努利很早就看出了幼年欧拉的数学天赋,他劝说欧拉的父亲保罗,让欧拉从事数学研究领域的工作,并使他相信欧拉注定能成为一位伟大的数学家。


因此,13岁时就进入了巴塞尔大学学习的欧拉,虽然按照他父亲的意愿主修哲学和法律,并进入了神学系,但在每周星期六下午便跟随当时欧洲最优秀的数学家约翰·伯努利学习数学。

同一时期,约翰·伯努利的两个儿子——丹尼尔·伯努利和尼古拉·伯努利(Nicolas Bernoulli)——在位于俄国圣彼得堡的俄国皇家科学院[2]工作。在尼古拉因阑尾炎于1726年7月去世后,丹尼尔便接替了他在数学/物理学所的职位,同时推荐欧拉到数学/物理学所工作。

St. Petersburg Academy of Science (图片来源:Wikipedia)


考虑到当时俄国的持续的动乱,欧拉在1741年离开了圣彼得堡,到柏林科学院[3]就职。

Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften (图片来源:Wikipedia)


在柏林,他出版了他最有名的两部作品:一部关于函数方面出版于1748年的《无穷小分析引论》和一部是关于微积分出版于1755年的《微积分概论》。在《无穷小分析引论》(Introduction to Analysis of the Infinity)中,欧拉提出了著名的“欧拉公式”。


欧拉公式的推导


开头介绍了欧拉公式的一种通用写法是:



其将复指数与正弦、余弦函数联系了起来。那么这是如何做到的?能否更加直观一点呢?


通常书本上给出的都是欧拉公式的验证而不是推导,例如,很多人会说:只要分别将两边的自然指数函数和三角函数用泰勒级数展开,即可得出两边相等的结论,但这只是验证而非真正的推导,就连《费曼物理学讲义》里面的计算也是如此。


为了让其更加易于理解,这里试着用直观的方式给予推导!


首先,需要记住的一点是:Euler方程等号两边都可以看作是描述在一个圆上的位置或者运动[4]


如果我们用三角函数去描述圆心在复平面原点处的单位圆上的位置或圆周运动轨迹,当圆弧角为x 弧度时,如图有:

(图片来源: betterexplained)


  • cos(x) 为当前圆周运动位置的横坐标
  • sin(x) 为当前圆周运动位置的纵坐标


因此采用复数 cos(x)+i·sin(x) ,即可描述单位圆周上点的位置或运动轨迹。


用复数来描述坐标还比较好理解,那么欧拉公式左边的复指数又代表的是什么呢?(由于欧拉公式左边复指数中的实部为零,只包含虚部,因此也可以称之为虚指数)


先举个与实指数相关的例子,当看到 3^4 时,你可以把它看作是 43 连乘,但也可以换一个角度看。因为作为底数来说, e 作为自然底数,是所有连续复利增长过程都共有的基本属性,其内涵的是单位数量在经过单位时间增长率为100%的连续复利增值后的最终结果,“连续复利”的定义请见:《自然底数e怎么就“自然”了?》。


我们可以将 3^4 改写为 e^{ln(3)·4} ,其数学内涵可以解释为:单位数量在单位时间增长率为 ln(3) 的连续复利情况下,经过 4 个单位时间增长后的最终结果。


通式可以写为: Q=e^{rate·time}


其中, rate 表示单位时间的增长率, time 表示经历了多少个单位时间的增长,而 Q 表示最终增长结果是初始值的多少倍。


因此,跳开数值本身的大小问题,我们把“乘以实指数”看成是初始值的一种“增长”或者说是对初始值的一种“推动”作用(这里的“初始值”是具有大小和方向属性的“复数”,复数包含实数和虚数,表达式可写为:复数=实部+ i·虚部)。


再例如实数 3 ,可将其看做是:单位时间增长率为 ln(3)≈1.1 ,初始值以该增长率连续复利增长,经过单位时间后最终结果将是 e^{ln(3)·1}=3


这里先只考虑了增长率为实数时的增长作用,而以实数为增长率的这种“增长”或“推动”是沿着初始值的方向进行的(复数可以看作是复平面上的矢量,因此具有方向属性)。


(图片来源: betterexplained)


而虚指数所带来的增长作用就和实指数有所不同,虚指数的增长作用的方向与初始值的方向垂直,且随着数值的变化始终保持着这种垂直的关系,详情请见:《虚数i真的很“虚”吗?》。这种增长方式并不改变数的大小,而只改变复数的方向!例如,让任何数乘以虚数 i ,都不会改变数的大小(或模长),而是改变数的方向。


在《自然底数e怎么就“自然”了?》中已经给出了自然底数 e 的定义式:



不过在上式中,我们假设的增长率为实数,但是,如果增长率为虚数呢?


其增长的示意图如下图所示:

(图片来源: betterexplained)


现在,“新的增长率”其实一直是沿着复数的垂直方向。并且这并不会改变复数的长度,但有人会提出质疑,因为上图所示的示意图是由一个个直角三角形组成,斜边当然比直角边更大。


但要知道,我们正在处理的是一个极限问题,当 n→∞ (其实n可以看作到达最后结果所经历的增长步数,这个增长步数是我们人为设定的,上图中的每个蓝色的直角边都代表一步),则蓝色的直角边将越接近斜边。


最终将得到的结果是:复数长度(模长)不变的连续旋转。这是处理其与正弦、余弦之间关系的核心概念,当复数的增量始终与复数的方向保持垂直,得到的轨迹必将是一个圆!


下面用公式来证明这一过程:


复数的模长为实部平方与虚部平方的和的平方根;转角为虚部除以实部的反正切值。

对于上式,如果 n=1 ,则结果为 1+i ;(注意复数的运算法则是:所有模长增量相乘得到最终模长;所有转角增量相加得到最终转角


如果上式中 n=2 ,则结果为 (1+\frac{i}{2})^{2}


即,将 n=1 的一步完成增长变为了 n=2 的两步完成增长

那么当 n→∞ 时,分步增长就变成了连续增长问题;


实际上就是复数 1+i·0 逆时针旋转,每一小步的增长方向都和复数指向方向垂直,且保证模长不变,因此极限状态就是圆周运动,最后转动角度为 1 弧度。

e^i=cos1+i·sin1


那对于更为普遍e^{xi} 呢?当 n→∞ 时;


实际上也是复数 1+i·0 逆时针不断旋转,每一小步的转动方向都和复数指向方向垂直,且保证模长不变,因此极限状态也是圆周运动,所以当然可以用欧拉公式等号右边三角函数法定义的单位圆周上的点来完全等效(注意:这里的 x 都采用弧度制)。


e^{xi}=cosx+i·sinx


如果 x 是随时间线性变化的参数,则可以得到以下三维等径螺旋线,该螺旋线在复平面上的投影是一个圆,投影点在圆上的运动为匀速圆周运动[5]

(图片来源:Brilliant)

这里,只要令 x=π ,就有 e^{πi}=cosπ+i·sinπ=-1 或者 e^{πi}+1=0 .


终于推导完毕!

参考

  1. ^Leonhard Euler.  http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
  2. ^Russian Academy of Sciences.  https://en.wikipedia.org/wiki/Russian_Academy_of_Sciences
  3. ^Berlin-Brandenburg Academy of Sciences and Humanities.  https://en.wikipedia.org/wiki/Berlin-Brandenburg_Academy_of_Sciences_and_Humanities
  4. ^Intuitive Understanding Of Euler’s Formula.  https://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-eulers-formula/
  5. ^Brilliant.  https://brilliant.org/practice/the-pathway-to-eulers-formula/
编辑于 04-27

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