一圈为何是360°?

一圈为何是360°?

一圈是 360° ,这听起来似乎很自然,自然到不会去问为什么。我们习惯于用 360° 形容转一圈的角度,但当学习进一步深入,就开始接触一个新的用于描述角度的单位——弧度。而科学家说:“弧度让数学更简单!”那这是为什么呢?

首先说说为什么一圈是 360°

我们将地球绕太阳一周定义为理论上的一年。其实际所需的时间约为 365.25 天,人们为了取整方便,就定义了闰年,每隔4年出现一次,在 365 天的基础上加一天,正好也能够补偿前 3 年所累计的误差。

那有人就会问了,既然如此,为什么一圈是 360° ,而不是 365° 或是 365.25°

因为 360° 容易被整除, 360 的真因数除了 1 和自身以外,一共有 22 个(2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180),所以很多特殊角的角度都是整数[1]。另外,这也更加符合以 60 为进制的“巴比伦数字”系统[2]

如果说这还不具有说服力,还有一个例子,就是中国的二十八星宿(xiu,读第四音)。(看到这张图,突然想到了“物华天宝,龙光射牛斗之墟;人杰地灵,徐孺下陈蕃之榻”。)


(图片来源:Wikipedia)

由于月球绕行地球一周为 27.3 日,所行路径为白道(与黄道夹角 5.145^\circ ),古人将白道圈分成 28 段,即将黄道和天赤道附近的天区划分为二十八个区域,因此月球大约每日可入宿到 28 段中的一个星宿内。二十八宿又分为四组,每组七宿,与东西南北四个方位和青龙、白虎、朱雀、玄武四种动物形象相配,称为四象[3]


(图片来源:Wikipedia)


(图片来源:Wikipedia)


而因为潮汐锁定而形成月球的同步自转(自转周期和公转周期相等),导致月球永远只能一面面对地球(当然这一特点和星宿划分并没有什么直接关系)[4]


(图片来源:Wikipedia)


总之,星宿就是以行星、恒星运动周期来划分圆周的一个典型例子。

中国人看星宿,西方人看星座。下图是 2008 年一年间纽约夜空所观察到的大熊座(Great Bear,中国称为北斗七星)的位置变化情况。可以看出,每过一年就会循环一圈[5]


(图片来源:Betterexplained)


以绕太阳一周为周期似乎是一个不错的方法,对于生活在地球上的人类来说,这很自然。但如果参考标准变化,就会发现这样的划分其实掺杂了太多的人为因素

例如,如果人类生活在火星,而不是地球上,或许人们就会把一个圆周定为 680° ,因为一个火星年大约是 680 天。而对于某些建筑或土木工程人员,他们可能更习惯用梯度,即将一个圆周划分为 400 份。


(图片来源:Wikipedia)


为了避免这种任意性所带来的标准不统一,人们需要一个新的定义来定义角度。因此有了“弧度”的概念,如下图,圆的一圈(不管圆的半径大小,角度都是 2π 弧度),这是因为圆的直半径与周长之间的恒定的比例关系造成的,详细证明可见:古人是如何寻找到π的?


弧度定义的演示 (图片来源: http://1ucasvb.tumblr.com)


可以把“度数”的定义视为是一种以自己为中心来看待角度问题的方法,而将“弧度”的定义视为是一种站在他人立场上看待角度问题的方法。听起来有些绕口。

举个例子,你站在操场中心,另一个人与你之间有一定的距离且绕着你沿圆周跑步,你要做的就是保持你的脸始终朝向那个人。假设那个人跑的长度为 S ,根据你和那个人之间的距离 r 就可以计算出你的头偏转的角度。


(图片来源:Betterexplained)


也就是说“度数”关心的是你的头偏转的角度,而“弧度”则关心的是那个人奔跑的距离。其本质区别在于参考对象变了。

弧度的定义就是:以某一点为中心(圆心点,对应于上图中的蓝色圆圈),运动点(对应于上图中的红色圆圈)绕圆心点做圆周运动的长度除以运动点到圆心点的距离。



通常写为下式:



因此,一圈是 360°2π 弧度,1弧度约为 \frac{360}{2π}≈57.3°


那么,弧度为什么会给工程带来方便呢?其原因就在于弧度是站在“运动点”的角度看问题,而不是站在“圆心点”的角度看问题。

例如,在测量某些转速时,人们通常使用的是rpm(Revolutions per minute),即每分钟多少转,而不是每秒钟或每分钟多少度。

举一个更具体的例子,就能感受到弧度到底方便之处。假设你有一辆汽车,汽车轮胎半径2米(夸张一下),先用角度的概念提问,若车轮每秒转 2000° ,问汽车前进的速度有多快?

计算方法是:

1、计算每秒轮胎转过的圈数: \frac{2000}{360}=\frac{50}{9} 圈;

2、计算每秒转过的周长: 2×π×2×\frac{50}{9}=\frac{200π}{9} m/s

现在用弧度的概念提问,若车轮每秒转 6 弧度,问汽车前进的速度有多快?

计算方法是:

直接用轮胎半径乘以每秒转动的弧度: 2×6=12 m/s

嗯嗯,这样方便多了。果然老司机。

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参考

  1. ^Degree(angle);  https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(angle)
  2. ^Babylonian numberals;  https://en.wikipedia.org/wiki/Babylonian_numerals
  3. ^Lunar node;  https://en.wikipedia.org/wiki/Lunar_node
  4. ^Tidal locking;  https://en.wikipedia.org/wiki/Tidal_locking
  5. ^Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians;  https://betterexplained.com/articles/intuitive-guide-to-angles-degrees-and-radians/
编辑于 2020-03-09

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