合成器基础:FM合成器(一)

一、FM合成的发明

1960年代,当John Chowning在斯坦福大学研究不同类型的颤音的时候,意外地发现了一种全新的声音合成方法,就是后来广为使用的FM合成算法。

在前面的文章里,我们已经了解了AM和RM、载波和调制的概念。

FM(frequency modulation, 频率调制)中,我们也需要一个载波信号和一个调制信号。但是和之前不同的是,在这里调制信号作用于载波的频率,而非振幅上。


在各种演唱会或者MV里,我们经常可以看到吉他手演奏出一个音符之后,带着一脸销魂的表情在那揉弦,让拉长了的音符听起来不会太单调。

我们可以很形象地把FM调制和吉他或者提琴的揉弦技法对应起来。我们用手指反复改变琴弦的松紧程度,其实就是在改变琴弦发出的声音的频率。手指揉弦的波形就是调制波形,而琴弦本来发出的声音就是载波。


这样一个简单的现象,在John Chowning实验时的一次意外发现,变得有趣起来。他发现如果“揉弦”的频率达到了某个程度之后,颤音的效果就消失了,取而代之的是一种全新的复杂的声音。


其实FM在广播、通信领域早就有了广泛的应用,但是从来没人想过把这种方法用在人类听觉范围内。自从Chowning把它用在声音上,这个技术就开始一发不可收拾。在1966年,Chowning成为了第一个使用FM来作曲和录音的人,这段历史在声音合成的领域有着独特的意义。


Chowning和他的同事们花了几年时间,去深入研究FM算法,他们发表的论文 “The Synthesis of Complex Audio Spectra by Means of Frequency Modulation”至今也是一篇值得我们一读的论文。


刚开始FM合成很不被各大乐器厂商看好,兜兜转转之后,在他们近乎绝望的时候找到了Yamaha,而Yamaha派遣了他们的一个工程师Mr. Ichimura去见Chowning,这段历史直接导致了Yamaha的成功。在1980年代,Yamaha销售了数以百万计的FM合成器等乐器。


二、FM合成的特点

自然界的声音,它们的频率成分大多其实都是实时变化的,动态的。这种实时变化的频谱有时候虽然我们很难以直接察觉,但是它们却跟声音的音色密切相关。这种随着时间变化的频谱,可以说像是声音的指纹,使不同的声音有了它们自己独特的特质,也让我们听起来,声音像是拥有了生命。

而传统的各种合成器,由于其产生的声音的频谱是固定不变的,对比之下则会给人很突兀的人造感。

FM合成最大的特点在于它可以很方便地产生丰富的谐波,并且我们可以非常方便地实时控制谐波的成分和比例,这是传统的合成方法难以做到的。[1]


三、FM合成原理的简单介绍

我们在前面已经介绍了AM和RM以及简单地提及了他们在数学上的表达。FM合成的基础其实跟他们很相似,不过衍生出来的数学会有点吓人。


AM或者RM中,调制信号改变的是载波的振幅,FM改变的则是载波的频率。当调制信号的频率远远小于载波频率的时候,AM中可以把调制信号类比成音量旋钮,FM中可以把调制信号类比成揉弦。但是当调制信号的频率上升到接近载波频率,或者高于载波频率的时候,大量谐波就产生了。


当载波和调制波都为正弦波时,我们可以使用以下表达式来描述FM调制

e=Asin(\alpha t+Isin\beta t)

其中:

e 为调制后波形的瞬时振幅

A 为振幅的瞬时最大值

\alpha 为载波频率

\beta 为调制频率

I 为调制指数(the modulation index),为调制波形峰-峰值


当调制频率远小于载波频率时,可以明显地看到调制后信号频率随着调制波形振幅的变化而变化。

但是当调制波形的频率继续增加之后,我们可以看到,新的波形产生了。这时候我们听的的声音会像是一个经过了低通滤波的锯齿波的声音。

对生成的波形做傅立叶变换,我们可以看到多出来了一系列的谐波。

四、FM产生的边带频率

FM会产生一系列对称分布在载波两侧的边带频率(虽然上图并不对称,在后面会讲到这个原因,同时它也是使得FM更好玩的一个特性),这一系列边带和载波之间,存在着这样的关系:

f_n=c\pm n\cdot m

其中 f_n 为第 n 个边带频率, c 为载波频率, m 为调制频率, n 为任意整数


用人话来讲,就是说每个边带频率都等于载波频率加上或减去n倍的调制频率。而且n的取值可以是任意值。这样就意味着FM调制将可能会产生无穷大的带宽。

好像点震惊哦,但是仔细想想,理想的锯齿波、方波,它们不也有无穷的带宽吗。哈哈。这么想就释然了。因为在实际的系统中,我们一般只取其中的一部分频率加以利用。比如人耳可以感受到的频率。


知道了FM会产生谐波,知道了谐波的分布,我们还差一个点,那就是各个谐波分量的振幅。

我们来想象这样一个场景:当我们揉弦的时候,轻轻地揉弦,这时候频率变化的幅度小;当我们使出吃奶的力气去揉弦,我们就可以听到非常明显的频率变化。


刚刚上面提到的 I ,调制指数,可以用另一种方法来表达:

I=\frac{d}{m}

d 表示调制信号的峰-峰值, m 表示调制信号的频率

即调制后得到的信号,与调制信号的振幅(或者说增益,gain)也有关系。调制信号的增益越大(d越大),得到的信号带宽也越大。但是变化的仅为边带信号的幅值,其频率都为固定的数值,不会随着增益的变化变化。


下面的动图展示了边带频率如何随着调制信号增益的变化而变化。


了解了这些之后,我们就可以轻易地用FM合成器制造出各种各样的噪声了。但是如果想要使用FM合成器来制作更加悦耳的声音,我们还需要更多的知识。我们下篇文章见!


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[1]Chowning, J. (1973). "The Synthesis of Complex Audio Spectra by Means of Frequency Modulation"

[2]SOS - An Introduction To Frequency Modulation


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编辑于 2019-08-23

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