可靠性与完备性(Soundness and Completeness)

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在完成命题逻辑系统的定义后,我们想知道这个系统的一切性质,其中最重要的性质就是可靠性与完备性。这一节的两个定理告诉我们,命题逻辑系统满足可靠性和完备性。


1 可靠性(Soundness)

1.1 可靠性是指什么?

可靠性定理:令 φ1, φ2, …, φn 和 ψ 为命题逻辑中的公式,如果 φ1, φ2, …, φn |- ψ 是有效的, 那么 φ1, φ2, …, φn |= ψ 是有效的。

这个定理是在说,我们为逻辑系统定义好语法和语义后,如果在语法上,我们可以利用推导规则,将φ1, φ2, …, φn 转化为 ψ,

那么在语义上,如果φ1, φ2, …, φn 都为T, 那么ψ一定为T.

1.2 为什么要引入可靠性的概念?

首先,我们需要理解,可靠性是逻辑系统满足的一个性质。如果有一天,我们构造了另一个逻辑系统,自己定义了 语法,定义了语义,那么,我们可能需要问一下自己:我定义的这个逻辑系统满足可靠性么?

上面的靠性定理是指在命题逻辑中,我们定义了语法:自然推导规则,推导及其有效性;我们定义了语义:真值表,语义蕴含及其有效性。在由这些定义构成的一个命题逻辑系统中,像可靠性定理描述的那样的性质是满足的。一旦我们 证明了一个逻辑系统满足了可靠性,我们就可以利用这个好的性质来做一些事。

1.3 可靠性有什么用?

现在我们明白了,之前定义的命题逻辑系统满足可靠性。现在,我们就可以利用这一点来做一点事了。

我们可以利用逻辑系统的可靠性来确定:有一些证明是不存在的。

例如:在命题逻辑系统中给定前提 φ1, φ2, …, φn, 能否证明 ψ ?这其实是在问:

φ1, φ2, … , φn |- ψ 是否是有效的。

如果这个前提和结论非常复杂,那么你很可能证明不出来,因为证明通常是需要一点灵感的,而灵感通常是难得的。 但是,你证明不出来不能说明这个证明不存在。那我们应该怎么做呢?

有了可靠性定理,我们就可以将问题转化为: φ1, φ2, … , φn |= ψ 是否是有效的。

而这个问题,我们完全可以用真值表来确定。

假如我们用真假表确定了, φ1, φ2, … , φn |= ψ 是无效的, 那么,我们完全可以断言:

φ1, φ2, … , φn |- ψ 是无效的。即证明不存在。

因为根据可靠性定理,如果 φ1, φ2, …, φn |- ψ 是有效的, 那么 φ1, φ2, …, φn |= ψ 是有效的, 与我们根据真值表得出的结论相矛盾。


2 完备性(Completeness)

2.1 完备性是指什么?

完备性定理:令 φ1, φ2, …, φn 和 ψ 为命题逻辑中的公式,如果 φ1, φ2, …, φn |= ψ 是有效的, 那么 φ1, φ2, …, φn |- ψ 是有效的。

可以看出,这和可靠性定理的定义正好相反。这其实是在说,在一个逻辑系统中,如果从语义上看, φ1, φ2, …, φn |= ψ 是有效的, 那么我们一定可以为φ1, φ2, …, φn |- ψ 找到一个证明。

在命题逻辑中,完备性定理也是成立的。具体的证明过程参考1

2.2 完备性有什么用?

与可靠性一样,完备性也是逻辑系统的性质。那么完备性有什么用呢?在一个逻辑系统中,如果我们知道一些前提是 真的,即 φ1, φ2, …,φn 都为真,那么,我们想知道在这样的条件下,结论 ψ 也一定是真吗?即我们想知道 φ1, φ2, …, φn |= ψ 是否是有效的。那么我们可能想找一个由φ1, φ2, …, φn 到 ψ 的证明,即利用推导规则将 φ1, φ2, …, φn 转化为 φ. 这时候,完备性就会告诉我们, 如果 φ1, φ2, …, φn |= ψ 是有效的,那么,这样 的证明一定存在。假如你的逻辑系统不满足完备性,那么即使φ1, φ2, …, φn |= ψ 是有效的,但是它的证明也可能 不存在,那你的努力可能就是徒劳的。


原文:命题逻辑中的语法与语义,可靠性与完备性 - on_1y - CSDN博客

发布于 2018-11-15