拓扑量子场论公理体系的介绍

我就是把Atiyah爵士的那篇很有名的关于TQFT的公理建立文章翻译一遍。

TQFT可以被认为是从物理发展出来的一种几何学,在一般的QFT当中,我们知道一般的非平凡物理效应是来自于哈密顿量 H ,当 H=0 的时候这个系统就不具有非平凡的物理效应,但此时拉氏量 L 却可能并不为0,而这些不为0的拉氏量则就给这个系统带来了交关多的拓扑效应,其中有些比较重要的源自物理的信息是:配分函数 Z 以及利用该配分函数加以计算的各类n-关联函数。而利用QFT建立起来的这些模型通过计算其是可以发现它们与几何拓扑中的一些非常非常紧密的关联的。如Chern-Simons理论与Jones Knot Polynomials之间的关联[1],建立Homological Mirror Symmetry的基础:Topological Sigma Models[2]和将Donaldson Polynomial Invariants[9]关联起来的Twisted N=2 4d SUSY[8]等等。

把几何与物理具体联系起来的开篇之作则是Witten写的“Supersymmetry and Morse Theory",这篇文章告诉我们对于具有超对称结构的量子力学体系,其哈密顿就是简单的Hodge-Laplacian。并且,这篇文章又说明,整个量子场论的体系就是一个Morse Theory,因此由量子场论来建立几何拓扑就变成了一件非常自然的事情。由此文章为基础,物理学家与数学家先后由此发展出了一系列的拓扑不变量,如Floer Homology[4]、Witten Index[5]和Witten Genus[6]。

而就此之后的发现,数学家开始逐渐发现利用量子场论的方法是可以去解决和建立相当多的数学理论的,尤其是拓扑不变量这一方面。而利用量子场论的方法更是去研究低维几何的拓扑性质的极其有效的方法,因此,在数学上,我们就急需一个关于拓扑量子场论的公理,这样我们可以想怎么玩就怎么玩。

这就是Atiyah干的事情[7](语言是范畴的)

不过在建立公理体系之前,我们首先考虑一些QFT与代数拓扑上的一些关联和比较,因为之前在量子场论里计算配分函数 Z 的时候,我们知道关于配分函数的计算是和这个理论所处的流形是紧密关联的,所以我们可以认为TQFT这个理论是一个函子 F:\text{TOP}\rightarrow k\text{MOD} ,其中 \text{TOP} 是拓扑空间范畴, k\text{MOD} 是所有k模构成的一个范畴,其中 k 我们称为是ground ring(我还真的不知道这个怎么翻译)(例如 k=\mathbf{Z},\mathbf{R} 这样的)。这个函子是满足如下的公理的。

一、同伦公理,可以利用一个”圆柱体“ X\times[0,1] 来几何地描述整个函子

二、可加公理F(X_{1}\dot\cup X_{2})=F(X_{1})\oplus F(X_{2})

好的,我们接下来把QFT和这个公理作个比较,我们发现对于第二个可加公理,搬到QFT里面肯定是要改成可乘公理的(这点比较显然),而同伦公理则需要加强来满足QFT里所需要的相对论不变性(即将 X\times[0,1] 的边界等价做延拓),即我们需要协边公理。最后的最后,我们所需要的流形 X 必须是有限维的。

好了,我们来列举一下拓扑量子场论的基础公理吧

一个在ground ring k 上的d维拓扑量子场论具有如下的data:

一、对于每个定向d维光滑闭流形 X 都配备一个有限生成的 kZ(X)

二、对于每个定向(d+1)维光滑流形 M 都配备一个元素 Z(M)\in Z(\partial M)

其中 Z (配分函数)满足如下性质:

一、函子性,对于保持流形 XM 定向的微分同胚具有函子性。

二、对合性Z(X^{*})=Z(X)^{*} ,其中 X^{*}X 并将定向反向之后的流形。

三、可乘性

这里我们需要详细说明一下这些公理的含义,我们首先考虑一个保持定向的微分同胚 f:X\rightarrow Y ,由此我们可以诱导出如下同构 Z(f):Z(X)\rightarrow Z(Y)Z(gf)=Z(g)Z(f) 。而如果我们把映射 f 延拓到 f:M\rightarrow M' ,以及 \partial M=X, \partial M'=Y 。我们由此有将点 Z(M) 通过 Z(f) 映射到点 Z(M')

而对合性则告诉我们,选定一个field kZ(X)Z(X)^{*} 互为对偶向量空间,在物理上我们一般考虑 k=\mathbf{C},\mathbf{R} 的情况,但在数学上,若我们去考虑 k=\mathbf{Z} 的时候,这两个对偶就分别为整数同调模和上同调模。

可乘性则告诉我们对于两个流形 X,Y

Z(X\dot\cup Y)=Z(X)\otimes Z(Y)

特别地,如果我们考虑 \partial M_{1}=X\cup Z, \partial M_{2}=Y\cup Z ,并考虑将 M_{1},M_{2} 粘合起来的流形 M=M_{1}\cup_{Z}M_{2} ,我们定义

Z(M)=\langle Z(M_{1}), Z(M_{2})\rangle

其中 \langle.,.\rangle:Z(X)\otimes Z(Z)\otimes Z(Z)^{*}\otimes Z(Y)\rightarrow Z(X)\otimes Z(Y) 是一个自然配对。而若 Z=\emptyset ,我们有

Z(M)=Z(M_{1})\otimes Z(M_{2})

上面这个计算告诉我们一个非常重要的结果,如果我们要去计算(d+1)维流形 M 的配分函数 Z(M) ,我们可以选择沿着任意一个 Z ”切开“这个流形来进行计算。

于此同时,我们可以如此构造以上的结合法则,我们考虑 \partial M=X\cup Y^{*} ,这样我们有

Z(M)\in Z(Y)^{*}\otimes Z(X)=\text{Hom}(Y,X) ,这样我们就可以通过一个线性映射 Z(M):Z(Z)\rightarrow Z(Y) 引入在 X,Y 之间的任意一个协边 M

我们注意到如果 Z=\emptyset ,我们可以很容易得到

Z(\emptyset)=k ( \emptyset 是一个d维流形)

而相应的,如果 M=\emptyset ,则有 Z(\emptyset)=1 ( \emptyset 为一(d+1)维流形。

接下来我们做个有趣的计算,我们考虑一个(d+1)维流形 M=X\times[0,1] ,显然我们有

Z(M)\in\text{Hom}(Z(X),Z(X))=\text{End}(Z(X)) ,而其实这个元素就相当于 Z(X) 的子空间 \{Z(M)|\text{dim}M=d, \partial M=X\} 中的一个全同元素(可以验证),因此我们要求 Z(X\times[0,1])=\text{Id}

接下来我们来推导一些比较有意思的结论。我们考虑两个如下的流形

M=M'=X\times[0,1]

并且考虑映射 F:M\rightarrow M' 为一个同伦映射 f_{t}:X\rightarrow X ,由此我们可以给出一个 Z(f) 的同伦不变量。

接下来我们考虑一个(d+1)维的闭流形 M ,因此 \partial M=\emptyset ,所以 Z(M)\in Z(\partial M)=k ,因此对于一个闭流形的配分函数则是一个常数。因此我们可以通过这套理论来构造关于(d+1)维闭流形的不变量。我们将闭流形 M 沿 Z 切开得到两个流形 M_{1},M_{2} ,因此我们有 Z(M_{1})\in Z(Z),Z(M_{2})\in Z(Z)^{*} ,所以

Z(M)=\langle Z(M_{1}),Z(M_{2})\rangle

所以我们可以通过“切开”这个操作来去计算闭流形的不变量。

借此,我们可以计算闭流形 X\times S^{1} 的配分函数,显然因为这个流形等价于将 X\times[0,1] 的两个边界的定向互相相反,因此我们有。

Z(X\times S^{1})=\text{Tr}(\text{Id}|_{X\times S^{1}})=\text{dim}(X\times S^{1})

由此,我们考虑一个更加宽泛的情况,给定一个保定向的微分同胚 f:X\rightarrow X ,我们将 X\times[0,1] 的两个边界用 f 等价粘合起来,因此我们得到流形 X\times_{f}S^{1} ,其上面的配分函数为

Z(X\times_{f}S^{1})=\text{dim}(Z(f))

接下来我们来考虑将(d+1)维流形 M 反向后的情况,我们现在想要做的事情是找出 Z(M)Z(M^{*}) 之间的关系,为此我们首先假设对于d维流形 X ,其k模 Z(X) 具有非退化厄密结构,即满足同构关系 Z(X)^{*}\rightarrow\overline{Z(X)} ,因此我们考虑添加如下关系(厄密公理)

Z(M^{*})=\overline{Z(M)}

如果 \partial M=X_{0}^{*}\cup X_{1} ,那么我们易知 Z(M):Z(X_{0})\rightarrow Z(X_{1}) 是一个线性变换,因此我们得知 Z(M^{*})Z(M) 的一个伴随表示。因此,如果 M 是一个闭流形,那么 Z(M) 是一个数(不变量),流形反向后配分函数就变成其共轭,所以我们可以借这个不变量来检验其定向性。

然后我们考虑一个有边界 \partial M=X 的流形,并将它和它的反向流形在 X 粘合得到 闭流形M\cup_{X}M^{*} ,由之前的厄密公理我们有

Z(M\cup_{X}M^{*})=|Z(M)|^{2}

而关于这些公理的修改和添加,我们可以根据需要来进行改变,比如 Z(X) 通过增加适当的结构变成一个 \mathbb{Z}_{2} -graded代数(可能是超对称的也可能是别的),或者给流形 M 或者 X 添加一些结构(如Spin Structure,Spinc Structure或者是一些同调类内部的结构),甚至我们也可以允许 \dim(X)=\infty 等等等等。


我们接下来就可以考虑一些比较有意思的例子了。

d=0 的时候,此时 X 是由一堆点构成的流形,而相对应的向量空间 Z(\text{point})=V ,因此若 X 由n个点构成,我们有 Z(X)=V^{\otimes n} 。显然该配分函数满足 S_{n} 对称性的。

接下来我们要想办法来构造向量空间 V ,即量子力学的希尔伯特空间,一般而言我们得到一个量子化的理论都是首先去考虑一个辛流形,然后再将其量子化。具体的操作我们考虑如下例子:考虑一个紧李群 G 和它的一个齐性辛流形 U ,这个流形 U 一个余伴随轨道表示,且一般而言是Flag Manifold的copies。如果为了在线从上取辛结构,我们取得一些” \mathbf{Z} “轨道,这样我们可以通过量子化(几何量子化)来得到紧李群的一个不可约表示(详细可以看[10])。由此我们就给出了一个关于Borel-Weil定理的物理解释。因此我们可以发现 d=0 的TQFT可以是一个紧李群或对称群的经典表示,而作用量则就是这个line bundle的holonomy。但在这个维度下并没有什么非平凡的几何拓扑,只有关于一些量子的对称性。


d=1 的时候,这时候有两套不同的理论,且都和 d=0 时的李群有关。

第一个是Floer/Gromov理论,这套理论里,相空间包含了路径且是在紧辛流形 U 中且具有适当的边界条件。为了使得其变成一个TQFT我们需要将边界条件变成周期性边界条件,这时候我们给出了一个在 U 当中的closed loop,然后我们可以利用 d=0 时得到的作用量——即这个loop的holonomy来当作Lagrangian去修正[1]中Witten给的Hamiltonian。而具体的Lagrangian则就是Topological Sigma Model[2]。若边界条件不取周期性条件,在Floer[11]里面有严格的处理,这时候给定映射 f:M\rightarrow U 则在path的两个端点处取辛流形 U 的Lagrangian子流形。

注意到,若 M 是一个闭流形,那么配分函数 Z(M) 则给出在Gromov的这篇文章里所定义[12]的J-全纯映射 M\rightarrow U 的数量(这个数可以是 \infty )。


还有一类并不完全是Topological的理论,但是和TQFT紧密关联的,就是Holomorphic Conformal Field Theory,在这套理论里面,我们可以类似于 d=0 的情况去寻找这套理论有关紧李群 G ,然后我们会发现此时相空间是由Loop Space LG (或者是这个Loop

Space的中心扩张)的余伴随轨道表示得到的,因此量子化后(几何量子化)后 可以得到这个理论的Hilbert空间,且这个Hilbert空间就是 LG 的一个不可约表示。而由此需要改变的是,我们需要将 d=0 当中的 对称群S_{n} 换成定向自微分同胚群 \text{Diff}_{+}(S^{1}) ,而由此我们容易发现,这个理论的配分函数是依赖于流形 M 的复结构,因此它并不完全是一个TQFT。

这个理论下已经被Segal利用范畴语言所公理化了[13]。


不过值得注意的是,the categroy of d=1 的TQFT其实是与 the category of commutative Frobenius algebra等价的。这点稍微提一下。


更高维的例子更加复杂,但内容也更加的丰富,如 d=2 的时候有Jones Knots Polynomial Invariants和Casson Invariants。 d=3 时有Floer-Donaldson Theory。

以上给的这些只是一些最基础的一些公理性的东西,TQFT里面的内容本身是非常非常丰富的,也需要各位自己加以探索,本身的参考文献其实很丰富,这里也推荐一些相关的文献和书籍供大家来参考参考

  1. Topological Quantum Field Theory and Four Manifolds ----Jose Labastida & Marcos Marino
  2. Lectures on 2D Yang-Mills Theory, Equivalent Cohomology and Topological Field Theories -------Stefan Cordes, Gregory Moore, and Sanjaye Ramgoolam
  3. On the Classification of Topological Field Theories -----Jacob Lurie
  4. Mirror Symmetry ------ Kentaro Hori, Sheldon Katz, Albrecht Klemm, Rahul Pandharipande, Richard Thomas, Cumrun Vafa, Ravi Vakil and Eric Zaslow

写完这篇后本人就要退乎了。

参考文献

  1. Witten, E. (1989). Quantum field theory and the Jones polynomial.Communications in Mathematical Physics,121(3), 351-399.
  2. Witten, E. (1988). Topological sigma models.Communications in Mathematical Physics,118(3), 411-449.
  3. Witten, E. (1982). Supersymmetry and Morse theory.J. diff. geom,17(4), 661-692.
  4. Floer, A. (1988). An instanton-invariant for 3-manifolds.Communications in mathematical physics,118(2), 215-240.
  5. Witten, E. (1982). Constraints on supersymmetry breaking.Nuclear Physics B,202(2), 253-316.
  6. Witten, E. (1987). Elliptic genera and quantum field theory.Communications in Mathematical Physics,109(4), 525-536.
  7. Atiyah, M. (1988). Topological quantum field theories.Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques,68(1), 175-186.
  8. Witten, E. (1988). Topological quantum field theory.Communications in Mathematical Physics,117(3), 353-386.
  9. Donaldson, S. K. (1990). Polynomial invariants for smooth four-manifolds.Topology,29(3), 257-315.
  10. Kirillov, A. A. (2004).Lectures on the orbit method(Vol. 64). American Mathematical Soc..
  11. Floer, A. (1987). Morse theory for fixed points of symplectic diffeomorphisms.Bulletin of the American Mathematical Society,16(2), 279-281.
  12. Gromov, M. (1985). Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds.Inventiones mathematicae,82(2), 307-347.
  13. Segal, G. B. (1988). The definition of conformal field theory. InDifferential geometrical methods in theoretical physics(pp. 165-171). Springer, Dordrecht.
编辑于 2019-01-02

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