灭霸能够拆散多少对情侣?(2)——假如灭霸是一个换妻狂魔

灭霸能够拆散多少对情侣?(2)——假如灭霸是一个换妻狂魔

在《复仇者联盟3》电影中,灭霸能够随机让世界上一半的人消失。

在第一篇文章《灭霸能够拆散多少对情侣?》中,我提出一个问题:假设某个星球生活着100对情侣,每个人只深爱着对方。灭霸随机消灭了一半人后,平均剩下多少对情侣?

答案是平均剩下约25对情侣,“殉情”25对情侣,剩下一半的情侣阴阳相隔。链接在这里:

武辰:灭霸能够拆散多少对情侣?zhuanlan.zhihu.com图标

我想提出一个新的脑洞:在一个星球中快乐地生活着n对男女情侣,没有单身狗。假如灭霸是一个换妻狂魔,他不打算杀人,而是把所有男人凑在一起,然后把每个男人随机分配给一位女性。这样就组成新的 n 对男女情侣。

那么问题来了:平均有多少对情侣是原配?

这个问题看起来比第一篇文章里的问题难,但是答案比第一篇文章的问题简单得多!而且用到的知识不会超过大学概率论通识课的难度。


我们可以先思考极端情况。最好的情况自然是每对情侣都是原配。这样的概率显然特别特别小。最坏的情况是每个女性都有了一个新的男人(当然这对于有些人来说可能是一件好事),这样的概率应该蛮大。

有些读者可能会问,为什么题目没有告诉大家这个星球有多少人或者多少对情侣?事实上这个问题的答案的一个美妙之处在于:答案与总人口无关。我们可以不妨设星球一共有 n 对情侣,给每位女性标号 1,2,3,…n-1,n

同上一个问题一样的套路:仍然引入随机变量 X :记换妻后,有 X 对情侣是原配。

再引入随机变量 X_{i} :若第 i 个女性的新情侣是原来的男人,则记 X_{i}=1 ,否则记 X_{i}=0 。这里 i 的取值范围是从1到 n 的整数。

这个简单解法最核心的地方在于这个关系式: X=X_{1}+X_{2}+…+X_{n}

接着,由数学期望的性质:

E(X)=E(X_{1}+X_{2}+…+X_{n})

=E(X_{1})+E(X_{2})+…+E(X_{n})

由于 X_{i} 地位相同,我们只需计算 E(X_{1}) 即可。

而根据数学期望的性质:

E(X_{1})=1\cdot P(X_{1}=1)+0\cdot P(X_{1}=0)=P(X_{1}=1)

我们只需计算出 P(X_{1}=1) 即可。

这个概率就是第一位女性的新情侣是原来的男人的概率,显然是 \frac{1}{n} .

E(X)

=E(X_{1})+E(X_{2})+…+E(X_{n})

=n(E(X_{1}))

=n\cdot\frac{1}{n}

=1

也就是说,平均只有一个女性分到了原来的情侣。另外,这个答案是与 n 无关的!不管星球上有多少人,打乱重新分配后,平均有1个人分到了原来的情侣。


有人可能会说这个问题有些无聊。但是事实上这个问题有一个很著名的背景,它在概率论中叫做“配对问题”。几乎每一本概率论的教材都会提到这个问题。它有很多种表现形式:n个人的n个帽子放在一起打乱,然后随机分配给每个人,平均有多少个人拿到了他本来的帽子?这个问题的本质和灭霸“换妻”问题是一样的,答案也是1.

这个问题我不算就此结束。我不禁开始了新的丧心病狂的思考:假设灭霸是一个“换人狂魔”,即把所有人都变成一个样子,并且抹除了性别,然后随机组成 n 对新的情侣,那么平均有多少对是原配?如果有机会的话,我将在第三篇文章中讨论这个问题。


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编辑于 2018-12-05

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