数学无字证明——三角函数

数学无字证明——三角函数

写在前面:

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之前看到 @whzecomjm 写的一篇文章很有意思,链接如下三角恒等式的几何表达

这里汇总了有关三角函数部分的数学无字证明,非常有意思,大家可以看一下,拓展一下思路。我基本上参考了美国数学家Roger B. Nelson所主编的Proofs without Words一书中的相关结论,也附上了作者,整理如下:

15°和75°角的三角函数值
18°角的三角函数值
斐波那数列与反三角函数的巧合
一个图形蕴含的5个反三角函数等式
正弦余弦平方和为1
两角和与差的正弦公式
两角和与差的余弦公式
二倍角公式
半角公式
欧拉半角正切公式Euler's Half Angle Tangent Formula
三倍角公式
辅助角公式的最值
万能公式
余弦定理

15°和75°角的三角函数值

—Larry Hoehn

\sin 15 ^ { \circ } = \frac { \sqrt { 6 } - \sqrt { 2 } } { 4 } , \quad \tan 75 ^ { \circ } = \frac { \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { 6 } - \sqrt { 2 } }

也就是说,可以得到15°和75°角的所有三角函数值,这里仅列举其中的两个。

推论:阴影三角形的面积相等(为 \frac{1}{2} )。

18°角的三角函数值

—Brian Bradie

\frac { \varphi } { 1 } = \frac { 1 } { \varphi - 1 }

\varphi ^ { 2 } - \varphi - 1 = 0

\varphi = \frac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 }

\begin{aligned} \sin 54 ^ { \circ } & = \cos 36 ^ { \circ } = \frac { \varphi } { 2 } = \frac { \sqrt { 5 } + 1 } { 4 } \\ \sin 18 ^ { \circ } & = \cos 72 ^ { \circ } = \frac { 1 } { 2 \varphi } = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } + 1 } \end{aligned}

斐波那数列与反三角函数的巧合

斐波那契数列是如下的一串数字:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

然而更神奇的现象在这里:

\begin{array} { l } { \arctan \left( \frac { 1 } { 1 } \right) = \arctan \left( \frac { 1 } { 2 } \right) + \arctan \left( \frac { 1 } { 3 } \right) } \\ { \arctan \left( \frac { 1 } { 3 } \right) = \arctan \left( \frac { 1 } { 5 } \right) + \arctan \left( \frac { 1 } { 8 } \right) } \\ { \arctan \left( \frac { 1 } { 8 } \right) = \arctan \left( \frac { 1 } { 13 } \right) + \arctan \left( \frac { 1 } { 21 } \right) } \\ { \arctan \left( \frac { 1 } { 21 } \right) = \arctan \left( \frac { 1 } { 34 } \right) + \arctan \left( \frac { 1 } { 55 } \right) } \end{array}

第一种关系表明,斜率为1/2的直线倾斜角与斜率为1/3的直线倾斜角的和为斜率为1(倾斜角为45度)的直线的倾斜角。

下面是一种无字证明:

\arctan \frac { 1 } { 3 } + \arctan \frac { 1 } { 2 } = \arctan 1=45°

非常容易形成下面的等式:

\arctan \frac { 1 } { n } + \arctan \frac { n - 1 } { n + 1 } = \arctan 1 , \text { for } n \in \mathbb { N }

进一步推广:

\arctan \frac { a } { b } + \arctan \frac { b - a } { b + a } = \arctan 1 , \text { for } a , b \in \mathbb { N } , a \leq b

参考文献:Ko Hayashi, “Fibonacci Numbers and the Arctangent Function,” Mathematics Magazine 76:3 [June 2003], 215.

除此之外,还有三个角相加的情况:

- Edward M. Harris

\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi

一个图形蕴含的5个反三角函数等式

—Rex H. Wu

正弦余弦平方和为1

\sin ^ { 2 } ( x ) + \cos ^ { 2 } ( x ) = 1

顺便还可以证明:

\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \sin ^ { 2 } x d x = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \cos ^ { 2 } x d x = \frac { \pi } { 4 }

两角和与差的正弦公式

- Sidney H. Kung

\sin ( x + y ) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \text { for } x + y < \pi

\begin{array} { c } { c = a \cos y + b \cos x } \\ { r = 1 / 2 \Rightarrow \sin z = ( c / 2 ) / ( 1 / 2 ) = c , \sin x = a , \sin y = b } \\ { \sin ( x + y ) = \sin ( \pi - ( x + y ) ) = \sin z = \sin x \cos y + \sin y \cos x } \end{array}

- Sidney H. Kung

\sin ( x - y ) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

—James Kirby

\begin{aligned} \frac { \sin ( A + B ) } { \tan A + \tan B } & = \frac { \sin \left( 90 ^ { \circ } - A \right) } { \sec B } \\ \therefore \sin ( A + B ) & = \cos A \cos B ( \tan A + \tan B ) \\ & = \sin A \cos B + \cos A \sin B \end{aligned}

—Long Wang

—James Kirby

\begin{aligned} \frac { \sin ( A - B ) } { \tan A - \tan B } & = \frac { \sin \left( 90 ^ { \circ } - A \right) } { \sec B } \\ \therefore \sin ( A - B ) & = \cos A \cos B ( \tan A - \tan B ) \\ & = \sin A \cos B - \cos A \sin B \end{aligned}

两角和与差的余弦公式

- Sidney H. Kung

\cos ( x - y ) = \cos x \cos y + \sin x \sin y

—William T. Webber & Matthew Bode

\cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

—David Richeson

二倍角公式

—Hasan Unal

\sin 2 x = 2 \sin x \cos x \text { and } \cos 2 x = \cos ^ { 2 } x - \sin ^ { 2 } x

- R B N

\begin{array} { c c } { \Delta A C D \sim \Delta A B C } \\ { \overline { C D } / \overline { A C } = \overline { B C } / \overline { A B } } & { \overline { A D } / \overline { A C } = \overline { A C } / \overline { A B } } \\ { \sin 2 \theta / 2 \cos \theta = 2 \sin \theta / 2 } & { ( 1 + \cos 2 \theta ) / 2 \cos \theta = 2 \cos \theta / 2 } \\ { \sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta } & { \cos 2 \theta = 2 \cos ^ { 2 } \theta - 1 } \end{array}

半角公式

- R.J. Walker

\tan \frac { \theta } { 2 } = \frac { \sin \theta } { 1 + \cos \theta } = \frac { 1 - \cos \theta } { \sin \theta }

欧拉半角正切公式Euler’s Half Angle Tangent Formula

(Leonhard Euler, 1707–1783)

\tan \frac { \alpha + \beta } { 2 } = \frac { \sin \alpha + \sin \beta } { \cos \alpha + \cos \beta }

—Don Goldberg

\tan \frac { \alpha + \beta } { 2 } = \frac { ( \sin \alpha + \sin \beta ) / 2 } { ( \cos \alpha + \cos \beta ) / 2 }

三倍角公式

—Shingo Okuda

\sin 3 x = 3 \sin x - 4 \sin ^ { 3 } x

\cos 3 x = 4 \cos ^ { 3 } x - 3 \cos x

—Claudi Alsina & RBN

\begin{aligned} \sin 3 x & = 2 \sin x \cos 2 x + \sin x \\ & = 2 \sin x \left( 1 - 2 \sin ^ { 2 } x \right) + \sin x \\ & = 3 \sin x - 4 \sin ^ { 3 } x \\ \cos 3 x & = 2 \cos x \cos 2 x - \cos x \\ & = 2 \cos x \left( 2 \cos ^ { 2 } x - 1 \right) - \cos x \\ & = 4 \cos ^ { 3 } x - 3 \cos x \end{aligned}

辅助角公式的最值

—M. Bayat, M. Hassani, & H. Teimoori

\begin{aligned} d \leq 1 & \Rightarrow \frac { | a \cos t + b \sin t | } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \leq 1 \\ - \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } & \leq a \cos t + b \sin t \leq \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \end{aligned}

万能公式

- RBN

z = \tan \frac { \theta } { 2 } \Rightarrow \sin \theta = \frac { 2 z } { 1 + z ^ { 2 } } \text { and } \cos \theta = \frac { 1 - z ^ { 2 } } { 1 + z ^ { 2 } }

余弦定理

证明1:

- Timothy A. Sipka

\begin{aligned} c ^ { 2 } & = ( b \sin \theta ) ^ { 2 } + ( a - b \cos \theta ) ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b \cos \theta \end{aligned}

证明2:

- Sidney H.Kung

\begin{array} { c } { ( 2 a \cos \theta - b ) b = ( a - c ) ( a + c ) } \\ { c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b \cos \theta } \end{array}

证明3:根据托勒密定理

Sidney H. Kung

\begin{array} { c } { c \cdot c = b \cdot b + ( a + 2 b \cos ( \pi - \theta ) ) \cdot a } \\ { c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b \cdot \cos \theta } \end{array}

完美结束。

如果大家看完这篇文章,能有很大的收获,我就开心啦。希望大家喜欢,更多文章敬请期待。

END

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编辑于 2019-03-09

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