【Graph Embedding】LINE:算法原理,实现和应用

【Graph Embedding】LINE:算法原理,实现和应用

之前介绍过DeepWalk,DeepWalk使用DFS随机游走在图中进行节点采样,使用word2vec在采样的序列学习图中节点的向量表示。

DeepWalk:算法原理,实现和应用zhuanlan.zhihu.com图标

LINE也是一种基于邻域相似假设的方法,只不过与DeepWalk使用DFS构造邻域不同的是,LINE可以看作是一种使用BFS构造邻域的算法。此外,LINE还可以应用在带权图中(DeepWalk仅能用于无权图)。

之前还提到不同的graph embedding方法的一个主要区别是对图中顶点之间的相似度的定义不同,所以先看一下LINE对于相似度的定义。

LINE 算法原理

一种新的相似度定义

first-order proximity

1阶相似度用于描述图中成对顶点之间的局部相似度,形式化描述为若 u , v 之间存在直连边,则边权 w_{uv} 即为两个顶点的相似度,若不存在直连边,则1阶相似度为0。 如上图,6和7之间存在直连边,且边权较大,则认为两者相似且1阶相似度较高,而5和6之间不存在直连边,则两者间1阶相似度为0。

second-order proximity

仅有1阶相似度就够了吗?显然不够,如上图,虽然5和6之间不存在直连边,但是他们有很多相同的邻居顶点(1,2,3,4),这其实也可以表明5和6是相似的,而2阶相似度就是用来描述这种关系的。 形式化定义为,令 p_u=(w_{u,1},...,w_{u,|V|}) 表示顶点 u 与所有其他顶点间的1阶相似度,则 uv 的2阶相似度可以通过 p_up_v 的相似度表示。若uv之间不存在相同的邻居顶点,则2阶相似度为0。

优化目标

1st-order

对于每一条无向边 (i,j) ,定义顶点 v_iv_j 之间的联合概率为:

p_1(v_i,v_j)=\frac{1}{1+\exp(-\vec{u}^T_i \cdot \vec{u}_j)}\vec{u_i} 为顶点v_i的低维向量表示。(可以看作一个内积模型,计算两个item之间的匹配程度)

同时定义经验分布 \hat{p_1}=\frac{w_{ij}}{W} , W=\sum_{(i,j)\in E} w_{ij}

优化目标为最小化: O_1=d(\hat{p}_1(\cdot,\cdot),p_1(\cdot,\cdot))

d(\cdot,\cdot) 是两个分布的距离,常用的衡量两个概率分布差异的指标为KL散度,使用KL散度并忽略常数项后有

O_1=-\sum_{(i,j)\in E}w_{ij}\log{p_1(v_i,v_j)}

1st order 相似度只能用于无向图当中。

2nd-order

这里对于每个顶点维护两个embedding向量,一个是该顶点本身的表示向量,一个是该点作为其他顶点的上下文顶点时的表示向量。

对于有向边 (i,j) ,定义给定顶点 v_i 条件下,产生上下文(邻居)顶点 v_j 的概率为 p_2(v_j|v_i)=\frac{\exp(\vec{u}^T_j\cdot\vec{u}_i)}{\sum_{k=1}^{|V|}{\exp(\vec{u}^T_k\cdot\vec{u}_i)}} ,其中 |V| 为上下文顶点的个数。

优化目标为 O_2=\sum_{i\in V}\lambda_i d(\hat{p}_2(\cdot|v_i),p_2(\cdot|v_i)) ,其中 \lambda_i 为控制节点重要性的因子,可以通过顶点的度数或者PageRank等方法估计得到。

经验分布定义为: \hat{p}_2(v_j|v_i)=\frac{w_{ij}}{d_i} , w_{ij} 是边 (i,j) 的边权, d_i 是顶点 v_i 的出度,对于带权图, d_i=\sum_{k\in N(I)}W_{ik}

使用KL散度并设 \lambda_i = d_i ,忽略常数项,有 O_2=-\sum_{(i,j)\in E} w_{ij}\log{p_2(v_j|v_i)}

优化技巧

Negative sampling

由于计算2阶相似度时,softmax函数的分母计算需要遍历所有顶点,这是非常低效的,论文采用了负采样优化的技巧,目标函数变为:

\log{\sigma({\vec{u}^T_j\cdot\vec{u}_i})}+\sum_{i=1}^K{E_{v_n\sim P_n(v)}[-\log{\sigma({\vec{u}^T_n\cdot\vec{u}_i})}]}K 是负边的个数。

论文使用 P_n(v)\propto d_v^{3/4}d_v 是顶点 v 的出度

Edge Sampling

注意到我们的目标函数在log之前还有一个权重系数 w_{ij} ,在使用梯度下降方法优化参数时, w_{ij} 会直接乘在梯度上。如果图中的边权方差很大,则很难选择一个合适的学习率。若使用较大的学习率那么对于较大的边权可能会引起梯度爆炸,较小的学习率对于较小的边权则会导致梯度过小。

对于上述问题,如果所有边权相同,那么选择一个合适的学习率会变得容易。这里采用了将带权边拆分为等权边的一种方法,假如一个权重为 w 的边,则拆分后为 w 个权重为1的边。这样可以解决学习率选择的问题,但是由于边数的增长,存储的需求也会增加。

另一种方法则是从原始的带权边中进行采样,每条边被采样的概率正比于原始图中边的权重,这样既解决了学习率的问题,又没有带来过多的存储开销。

这里的采样算法使用的是Alias算法,Alias是一种 O(1) 时间复杂度的离散事件抽样算法。具体内容可以参考

Alias Method:时间复杂度O(1)的离散采样方法zhuanlan.zhihu.com图标

其他问题

低度数顶点

对于一些顶点由于其邻接点非常少会导致embedding向量的学习不充分,论文提到可以利用邻居的邻居构造样本进行学习,这里也暴露出LINE方法仅考虑一阶和二阶相似性,对高阶信息的利用不足。

新加入顶点

对于新加入图的顶点 v_i ,若该顶点与图中顶点存在边相连,我们只需要固定模型的其他参数,优化如下两个目标之一即可:

-\sum_{j\in N(i)} w_{ji}\log{p_1(v_j,v_i)}-\sum_{j\in N(i)} w_{ji}\log{p_1(v_j|v_i)}

若不存在边相连,则需要利用一些side info,留到后续工作研究。

LINE核心代码

模型和损失函数定义

LINE使用梯度下降的方法进行优化,直接使用tensorflow进行实现,就可以不用人工写参数更新的逻辑了~

这里的 实现中把1阶和2阶的方法融合到一起了,可以通过超参数order控制是分开优化还是联合优化,论文推荐分开优化。

首先输入就是两个顶点的编号,然后分别拿到各自对应的embedding向量,最后输出内积的结果。 真实label定义为1或者-1,通过模型输出的内积和line_loss就可以优化使用了负采样技巧的目标函数了~

def line_loss(y_true, y_pred):
    return -K.mean(K.log(K.sigmoid(y_true*y_pred)))

def create_model(numNodes, embedding_size, order='second'):

    v_i = Input(shape=(1,))
    v_j = Input(shape=(1,))

    first_emb = Embedding(numNodes, embedding_size, name='first_emb')
    second_emb = Embedding(numNodes, embedding_size, name='second_emb')
    context_emb = Embedding(numNodes, embedding_size, name='context_emb')

    v_i_emb = first_emb(v_i)
    v_j_emb = first_emb(v_j)

    v_i_emb_second = second_emb(v_i)
    v_j_context_emb = context_emb(v_j)

    first = Lambda(lambda x: tf.reduce_sum(
        x[0]*x[1], axis=-1, keep_dims=False), name='first_order')([v_i_emb, v_j_emb])
    second = Lambda(lambda x: tf.reduce_sum(
        x[0]*x[1], axis=-1, keep_dims=False), name='second_order')([v_i_emb_second, v_j_context_emb])

    if order == 'first':
        output_list = [first]
    elif order == 'second':
        output_list = [second]
    else:
        output_list = [first, second]

    model = Model(inputs=[v_i, v_j], outputs=output_list)

顶点负采样和边采样

下面的函数功能是创建顶点负采样和边采样需要的采样表。中规中矩,主要就是做一些预处理,然后创建alias算法需要的两个表。

def _gen_sampling_table(self):

    # create sampling table for vertex
    power = 0.75
    numNodes = self.node_size
    node_degree = np.zeros(numNodes)  # out degree
    node2idx = self.node2idx

    for edge in self.graph.edges():
        node_degree[node2idx[edge[0]]
                    ] += self.graph[edge[0]][edge[1]].get('weight', 1.0)

    total_sum = sum([math.pow(node_degree[i], power)
                        for i in range(numNodes)])
    norm_prob = [float(math.pow(node_degree[j], power)) /
                    total_sum for j in range(numNodes)]

    self.node_accept, self.node_alias = create_alias_table(norm_prob)

    # create sampling table for edge
    numEdges = self.graph.number_of_edges()
    total_sum = sum([self.graph[edge[0]][edge[1]].get('weight', 1.0)
                        for edge in self.graph.edges()])
    norm_prob = [self.graph[edge[0]][edge[1]].get('weight', 1.0) *
                    numEdges / total_sum for edge in self.graph.edges()]

    self.edge_accept, self.edge_alias = create_alias_table(norm_prob)

LINE应用

和之前一样,还是用LINE在wiki数据集上进行节点分类任务和可视化任务。 wiki数据集包含 2,405 个网页和17,981条网页之间的链接关系,以及每个网页的所属类别。 由于1阶相似度仅能应用于无向图中,所以本例中仅使用2阶相似度。

本例中的训练,评测和可视化的完整代码在下面的git仓库中,

shenweichen/GraphEmbeddinggithub.com图标
G = nx.read_edgelist('../data/wiki/Wiki_edgelist.txt',create_using=nx.DiGraph(),nodetype=None,data=[('weight',int)])

model = LINE(G,embedding_size=128,order='second')
model.train(batch_size=1024,epochs=50,verbose=2)
embeddings = model.get_embeddings()

evaluate_embeddings(embeddings)
plot_embeddings(embeddings)

分类任务结果

micro-F1: 0.6403

macro-F1:0.5286

结果有一定随机性,可以多运行几次,或者稍微调整epoch个数。

可视化结果


参考资料


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编辑于 07-13

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