【Graph Embedding】node2vec：算法原理，实现和应用

浅梦

浙江大学计算机硕士

前面介绍过基于DFS邻域的DeepWalk和基于BFS邻域的LINE。

node2vec是一种综合考虑DFS邻域和BFS邻域的graph embedding方法。简单来说，可以看作是deepwalk的一种扩展，是结合了DFS和BFS随机游走的deepwalk。

nodo2vec 算法原理

优化目标

设 f(u) 是将顶点 u 映射为embedding向量的映射函数,对于图中每个顶点u，定义 N_S(u) 为通过采样策略 S 采样出的顶点 u 的近邻顶点集合。

node2vec优化的目标是给定每个顶点条件下，令其近邻顶点（如何定义近邻顶点很重要）出现的概率最大。

max_f {\sum_{u\in V}\log{Pr(N_S(U)|f(u))}}

为了将上述最优化问题可解，文章提出两个假设：

条件独立性假设

假设给定源顶点下，其近邻顶点出现的概率与近邻集合中其余顶点无关。 Pr(N_s(u)|f(u))=\prod_{n_i\in N_s(u)} Pr(n_i|f(u))

特征空间对称性假设

这里是说一个顶点作为源顶点和作为近邻顶点的时候共享同一套embedding向量。(对比LINE中的2阶相似度，一个顶点作为源点和近邻点的时候是拥有不同的embedding向量的) 在这个假设下，上述条件概率公式可表示为 Pr(n_i|f(u))=\frac{\exp{f(n_i)\cdot f(u)}}{\sum_{v\in V}{\exp{f(v)\cdot f(u)}}}

根据以上两个假设条件，最终的目标函数表示为 max_f{\sum_{u\in V}[-\log{Z_u}+\sum_{n_i\in N_s(u)}{f(n_i)\cdot f(u)}]}

由于归一化因子 Z_u=\sum_{n_i\in N_s(u)}{\exp(f(n_i)\cdot f(u))} 的计算代价高，所以采用负采样技术优化。

顶点序列采样策略

node2vec依然采用随机游走的方式获取顶点的近邻序列，不同的是node2vec采用的是一种有偏的随机游走。

给定当前顶点 v ，访问下一个顶点 x 的概率为

\pi_{vx} 是顶点 v 和顶点 x 之间的未归一化转移概率， Z 是归一化常数。

node2vec引入两个超参数 p 和 q 来控制随机游走的策略，假设当前随机游走经过边 (t,v) 到达顶点 v 设 \pi_{vx}=\alpha_{pq}(t,x)\cdot w_{vx} ， w_{vx} 是顶点 v 和 x 之间的边权，

d_{tx} 为顶点 t 和顶点 x 之间的最短路径距离。

下面讨论超参数 p 和 q 对游走策略的影响

Return parameter,p

参数p控制重复访问刚刚访问过的顶点的概率。注意到p仅作用于 d_{tx}=0 的情况，而 d_{tx}=0 表示顶点 x 就是访问当前顶点 v 之前刚刚访问过的顶点。那么若 p 较高，则访问刚刚访问过的顶点的概率会变低，反之变高。

In-out papameter,q

q 控制着游走是向外还是向内，若 q>1 ，随机游走倾向于访问和 t 接近的顶点(偏向BFS)。若 q<1 ，倾向于访问远离 t 的顶点(偏向DFS)。

下面的图描述的是当从 t 访问到 v 时，决定下一个访问顶点时每个顶点对应的 \alpha 。

学习算法

采样完顶点序列后，剩下的步骤就和deepwalk一样了，用word2vec去学习顶点的embedding向量。值得注意的是node2vecWalk中不再是随机抽取邻接点，而是按概率抽取，node2vec采用了Alias算法进行顶点采样。

node2vec核心代码

node2vecWalk

通过上面的伪代码可以看到，node2vec和deepwalk非常类似，主要区别在于顶点序列的采样策略不同，所以这里我们主要关注node2vecWalk的实现。

由于采样时需要考虑前面2步访问过的顶点，所以当访问序列中只有1个顶点时，直接使用当前顶点和邻居顶点之间的边权作为采样依据。当序列多余2个顶点时，使用文章提到的有偏采样。

def node2vec_walk(self, walk_length, start_node):
    G = self.G    
    alias_nodes = self.alias_nodes    
    alias_edges = self.alias_edges
    walk = [start_node]
    while len(walk) < walk_length:        
        cur = walk[-1]        
        cur_nbrs = list(G.neighbors(cur))        
        if len(cur_nbrs) > 0:            
            if len(walk) == 1:                
                walk.append(cur_nbrs[alias_sample(alias_nodes[cur][0], alias_nodes[cur][1])])            
            else:                
                prev = walk[-2]                
                edge = (prev, cur)                
                next_node = cur_nbrs[alias_sample(alias_edges[edge][0],alias_edges[edge][1])]                
                walk.append(next_node)        
        else:            
            break
    return walk

构造采样表

preprocess_transition_probs分别生成alias_nodes和alias_edges，alias_nodes存储着在每个顶点时决定下一次访问其邻接点时需要的alias表（不考虑当前顶点之前访问的顶点）。alias_edges存储着在前一个访问顶点为 t ，当前顶点为 v 时决定下一次访问哪个邻接点时需要的alias表。

get_alias_edge方法返回的是在上一次访问顶点 t ，当前访问顶点为 v 时到下一个顶点 x 的未归一化转移概率 \pi_{vx}=\alpha_{pq}(t,x)\cdot w_{vx}

def get_alias_edge(self, t, v):
    G = self.G    
    p = self.p    
    q = self.q
    unnormalized_probs = []    
    for x in G.neighbors(v):        
        weight = G[v][x].get('weight', 1.0)# w_vx        
        if x == t:# d_tx == 0            
            unnormalized_probs.append(weight/p)        
        elif G.has_edge(x, t):# d_tx == 1            
            unnormalized_probs.append(weight)        
        else:# d_tx == 2            
            unnormalized_probs.append(weight/q)    
    norm_const = sum(unnormalized_probs)    
    normalized_probs = [float(u_prob)/norm_const for u_prob in unnormalized_probs]
    return create_alias_table(normalized_probs)

def preprocess_transition_probs(self):
    G = self.G
    alias_nodes = {}    
    for node in G.nodes():        
        unnormalized_probs = [G[node][nbr].get('weight', 1.0) for nbr in G.neighbors(node)]        
        norm_const = sum(unnormalized_probs)        
        normalized_probs = [float(u_prob)/norm_const for u_prob in unnormalized_probs]                 
        alias_nodes[node] = create_alias_table(normalized_probs)
    alias_edges = {}
    for edge in G.edges():        
        alias_edges[edge] = self.get_alias_edge(edge[0], edge[1])
    self.alias_nodes = alias_nodes    
    self.alias_edges = alias_edges
    return

node2vec应用

使用node2vec在wiki数据集上进行节点分类任务和可视化任务。 wiki数据集包含 2,405 个网页和17,981条网页之间的链接关系，以及每个网页的所属类别。通过简单的超参搜索，这里使用p=0.25,q=4的设置。

本例中的训练，评测和可视化的完整代码在下面的git仓库中，

G = nx.read_edgelist('../data/wiki/Wiki_edgelist.txt',create_using=nx.DiGraph(),nodetype=None,data=[('weight',int)])

model = Node2Vec(G,walk_length=10,num_walks=80,p=0.25,q=4,workers=1)
model.train(window_size=5,iter=3)    
embeddings = model.get_embeddings()

evaluate_embeddings(embeddings)
plot_embeddings(embeddings)