MIT线性代数笔记1.1上(现代的几何解释)

MIT线性代数笔记1.1上(现代的几何解释)

线性方程组的几何解释(The Geometry Of Linear Equations)

假设已经在大学里学过线性代数。虽然现在已经忘的干干净净了,但是你一定还记得向量,矩阵是什么。花5分钟时间复习下向量加减法,乘法。还有什么叫线性无关,线性相关吧!

线性代数的是为了解线性方程组而生的,在这个课程里,一个非常重要并且贯穿始终的概念:

\bm {Ax} 实际上是对A的列的线性组合 \bm {Ax} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 &4  \\ 5 & 6\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5\end{bmatrix}x_{1} + \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6\end{bmatrix}x_{2}

当然也可以看做 \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}\bm A 的行的点积(在大学里一般是这么教的): \bm {Ax} = \begin{bmatrix} 1 \quad 2 \\ 3 \quad 4  \\ 5 \quad6\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1x_{1} + 2x_{2} \\ 3x_{1} + 4x_{2} \\ 5x_{1} + 6x_{2}\end{bmatrix}

总之最重要的:矩阵乘向量可以看做是对A的列的线性组合, 知道这个就足够了

  • 矩阵乘以右侧列向量可看成矩阵各列向量的线性组合,结果为列向量!
  • 左侧行向量乘以矩阵可看成矩阵各行向量的线性组合,结果为行向量!

线性无关

一个线性方程组可以描述为 A x=b . (假设为2维).那么请想一想,这个方程组在任何时候都有解么?或者说任何A的列向量的组合都能组成一个固定的二维向量b么?

答案是否定的,当A的列线性相关的时候(A的两列在一条直线上)的时候就可能不行,这种特殊情况下,无论A的列怎么线性组合,都只能在这条直线上!

以下说法等价:

  • A的列线性相关了!
  • A是不可逆矩阵了!
  • A是奇异矩阵了!
  • A的列无论怎么线性组合也不能组成一二维平面了,只能在一条线上了!A把二维世界进行了降维!

习题

题1 找到一个x的组合(非0组合),使 x_{1} \mathbf{w}_{1}+x_{2} \mathbf{w}_{2}+x_{3} \mathbf{w}_{3} 的结果为0向量

\mathbf{w}_{1}=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right] \mathbf{w}_{2}=\left[\begin{array}{l}{4} \\ {5} \\ {6}\end{array}\right] \mathbf{w}_{3}=\left[\begin{array}{l}{7} \\ {8} \\ {9}\end{array}\right]

答: 用眼睛看看可以得到 x1=-1 x2=2 x3=1可以组合出0向量,或者你也可以用消元法解线性方程组:

\begin{aligned} 1 x_{1}+4 x_{2}+7 x_{3} &=0 \\ 2 x_{1}+5 x_{2}+8 x_{3} &=0 \\ 3 x_{1}+6 x_{2}+9 x_{3} &=0 \end{aligned} 得到 x_{1}=1, x_{2}=-2, x_{3}=1 \text { and } \mathbf{w}_{1}-2 \mathbf{w}_{2}+\mathbf{w}_{3}=0

这三个向量线性相关,因为他们的非零线性组合可以组成0向量,或者说 {w}_{1} , {w}_{2} , {w}_{3} 组成的矩阵是不可逆矩阵


题2 矩阵乘法练手: \left[\begin{array}{lll}{1} & {2} & {0} \\ {2} & {0} & {3} \\ {4} & {1} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}{3} \\ {-2} \\ {1}\end{array}\right]

体力活,自己体验一下吧,答案: =\left[\begin{array}{r}{-1} \\ {9} \\ {11}\end{array}\right]


题3 判断:一个 3x2 矩阵 乘 3x2 矩阵 是一个 3x3矩阵,如果是假的话,写一个类似这个的正确表达

答: 好吧,凭社会经验就知道判断为错。。矩阵乘法必须熟,必须满足 A(m \text { by } n) \text { times } B(n \text { by } p) \text { equals } A B(m \text { by } p)


最后

第一讲没啥好说的,本科学过线性代数,回忆起来分分钟,权当练手了。只有一个重要概念:

  • Ax 可以看做: 向量 x 的每个元素是权重,这些权重对矩阵A的每一列进行线性组合!这个概念贯穿整个课程始终!
编辑于 09-24

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