常见的损失函数(loss function)总结

常见的损失函数(loss function)总结

损失函数用来评价模型的预测值真实值不一样的程度,损失函数越好,通常模型的性能越好。不同的模型用的损失函数一般也不一样。

损失函数分为经验风险损失函数结构风险损失函数。经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别,结构风险损失函数是指经验风险损失函数加上正则项。

常见的损失函数以及其优缺点如下:

  1. 0-1损失函数(zero-one loss)

0-1损失是指预测值和目标值不相等为1, 否则为0:

L ( Y , f ( X ) ) = \left\{ \begin{array} { l } { 1 , Y \neq f ( X ) } \\ { 0 , Y = f ( X ) } \end{array} \right.   \\

特点:

(1)0-1损失函数直接对应分类判断错误的个数,但是它是一个非凸函数,不太适用.

(2)感知机就是用的这种损失函数。但是相等这个条件太过严格,因此可以放宽条件,即满足 |Y - f(x)| < T 时认为相等,

L ( Y , f ( X ) ) = \left\{ \begin{array} { l } { 1 , | Y - f ( X ) | \geq T } \\ { 0 , | Y = f ( X ) | < T } \end{array} \right.  \\

2. 绝对值损失函数

绝对值损失函数是计算预测值与目标值的差的绝对值:

L(Y, f(x)) = |Y - f(x)|  \\

3. log对数损失函数

log对数损失函数的标准形式如下:

L(Y, P(Y|X)) = -logP(Y|X)  \\

特点:

(1) log对数损失函数能非常好的表征概率分布,在很多场景尤其是多分类,如果需要知道结果属于每个类别的置信度,那它非常适合。

(2)健壮性不强,相比于hinge loss对噪声更敏感。

(3)逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数。

4. 平方损失函数

平方损失函数标准形式如下:

L ( Y | f ( X ) ) = \sum _ { N } ( Y - f ( X ) ) ^ { 2 }  \\

特点:

(1)经常应用与回归问题

5. 指数损失函数(exponential loss)

指数损失函数的标准形式如下:

L(Y|f(X)) = exp[-yf(x)]  \\

特点:

(1)对离群点、噪声非常敏感。经常用在AdaBoost算法中。

6. Hinge 损失函数

Hinge损失函数标准形式如下:

L(y, f(x)) = max(0, 1-yf(x))   \\

特点:

(1)hinge损失函数表示如果被分类正确,损失为0,否则损失就为 1-yf(x)SVM就是使用这个损失函数。

(2)一般的 f(x) 是预测值,在-1到1之间, y 是目标值(-1或1)。其含义是, f(x) 的值在-1和+1之间就可以了,并不鼓励 |f(x)| > 1 ,即并不鼓励分类器过度自信,让某个正确分类的样本距离分割线超过1并不会有任何奖励,从而使分类器可以更专注于整体的误差。

(3) 健壮性相对较高,对异常点、噪声不敏感,但它没太好的概率解释。

7. 感知损失(perceptron loss)函数

感知损失函数的标准形式如下:

L(y, f(x)) = max(0, -f(x))  \\

特点:

(1)是Hinge损失函数的一个变种,Hinge loss对判定边界附近的点(正确端)惩罚力度很高。而perceptron loss只要样本的判定类别正确的话,它就满意,不管其判定边界的距离。它比Hinge loss简单,因为不是max-margin boundary,所以模型的泛化能力没 hinge loss强

8. 交叉熵损失函数 (Cross-entropy loss function)

交叉熵损失函数的标准形式如下:

C = - \frac { 1 } { n } \sum _ { x } [ y \ln a + ( 1 - y ) \ln ( 1 - a ) ]  \\

注意公式中 x 表示样本, y 表示实际的标签, a 表示预测的输出, n 表示样本总数量。

特点:

(1)本质上也是一种对数似然函数,可用于二分类和多分类任务中。

二分类问题中的loss函数(输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出):

loss = - \frac { 1 } { n } \sum _ { x } [ y \ln a + ( 1 - y ) \ln ( 1 - a ) ] \\

多分类问题中的loss函数(输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出):

loss = - \frac{1}{n} \sum_i y_ilna_i \\

(2)当使用sigmoid作为激活函数的时候,常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数,因为它可以完美解决平方损失函数权重更新过慢的问题,具有“误差大的时候,权重更新快;误差小的时候,权重更新慢”的良好性质。

最后奉献上交叉熵损失函数的实现代码:cross_entropy.



这里需要更正一点,对数损失函数和交叉熵损失函数应该是等价的!!!(此处感谢 @Areshyy 的指正,下面说明也是由他提供)

下面来具体说明:


相关高频问题:

1.交叉熵函数最大似然函数的联系和区别?

区别:交叉熵函数使用来描述模型预测值和真实值的差距大小,越大代表越不相近;似然函数的本质就是衡量在某个参数下,整体的估计和真实的情况一样的概率,越大代表越相近。

联系:交叉熵函数可以由最大似然函数在伯努利分布的条件下推导出来,或者说最小化交叉熵函数的本质就是对数似然函数的最大化

怎么推导的呢?我们具体来看一下。

设一个随机变量 X 满足伯努利分布,

P(X=1) = p, P(X=0)=1-p \\

X 的概率密度函数为:

P(X)=p^X(1-p)^{1-X}  \\

因为我们只有一组采样数据 D ,我们可以统计得到 X1-X 的值,但是 p 的概率是未知的,接下来我们就用极大似然估计的方法来估计这个 p 值。

对于采样数据 D ,其对数似然函数为:

logP(D) = log\prod_{i}^{N}P(D_i) \\ = \sum_{i}logp(D_i) \\ = \sum_{i}(D_ilogp + (1-D_i)log(1-p))  \\

可以看到上式和交叉熵函数的形式几乎相同,极大似然估计就是要求这个式子的最大值。而由于上面函数的值总是小于0,一般像神经网络等对于损失函数会用最小化的方法进行优化,所以一般会在前面加一个负号,得到交叉熵函数(或交叉熵损失函数):

loss = -\sum_{i}(D_ilogp + (1-D_i)log(1-p))   \\

这个式子揭示了交叉熵函数极大似然估计的联系,最小化交叉熵函数的本质就是对数似然函数的最大化。

现在我们可以用求导得到极大值点的方法来求其极大似然估计,首先将对数似然函数对 p 进行求导,并令导数为0,得到

\sum_{i}(D_i \frac{1}{p} + (1-D_i) \frac{1}{p-1}) =0 \\

消去分母,得:

\sum_{i}^{N}(p-D_i) = 0 \\

所以:

p  = \frac{1}{N} \sum_i D_i  \\

这就是伯努利分布下最大似然估计求出的概率 p

2. 在用sigmoid作为激活函数的时候,为什么要用交叉熵损失函数,而不用均方误差损失函数

其实这个问题求个导,分析一下两个误差函数的参数更新过程就会发现原因了。

对于均方误差损失函数,常常定义为:

C= \frac{1}{2n}\sum_x(a - y)^2 \\

其中 y 是我们期望的输出, a 为神经元的实际输出( a = \sigma(z), z=wx+b )。在训练神经网络的时候我们使用梯度下降的方法来更新 wb ,因此需要计算代价函数对 wb 的导数:

\frac{\partial C }{\partial w} = (a-y)\sigma'(z)x \\ \frac{\partial C }{\partial b } = (a-y)\sigma'(z)\\

然后更新参数 wb

w = w - \eta \frac{\partial C}{\partial w} = w - \eta (a-y)\sigma'(z)x \\ b = b - \eta \frac{\partial C}{\partial b} = b - \eta (a-y)\sigma'(z) \\

因为sigmoid的性质,导致 \sigma'(x)z 取大部分值时会很小(如下图标出来的两端,几乎接近于平坦),这样会使得 \eta (a-y)\sigma'(z) 很小,导致参数 wb 更新非常慢。

那么为什么交叉熵损失函数就会比较好了呢?同样的对于交叉熵损失函数,计算一下参数更新的梯度公式就会发现原因。交叉熵损失函数一般定义为:

C = - \frac { 1 } { n } \sum _ { x } [ y \ln a + ( 1 - y ) \ln ( 1 - a ) ] \\

其中 y 是我们期望的输出, a 为神经元的实际输出( a = \sigma(z), z=wx+b )。同样可以看看它的导数:

\frac{\partial C}{\partial a} = -\frac{1}{n}\sum_x[y\frac{1}{a}+(y-1)\frac{1}{1-a}] \\ = -\frac{1}{n}\sum_x[\frac{1}{a(1-a)}y - \frac{1}{1-a}] \\ = -\frac{1}{n}\sum_x[\frac{1}{\sigma(x)(1-\sigma(x))}y - \frac{1}{1-\sigma(x)}] \\

另外,

\frac{\partial C}{\partial z} = \frac{\partial C}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial z} \\ =-\frac{1}{n}\sum_x[\frac{1}{\sigma(x)(1-\sigma(x))}y - \frac{1}{1-\sigma(x)}] \bullet \sigma'(x) \\ = -\frac{1}{n}\sum_x[\frac{1}{\sigma(x)(1-\sigma(x))}y - \frac{1}{1-\sigma(x)}]\bullet \sigma(x)(1-\sigma(x)) \\ = -\frac{1}{n} \sum_x(y-a) \\

所以有:

\frac{\partial C}{\partial w} = \frac{\partial C}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial w} = (a-y)x  \\

\frac{\partial C}{\partial b} = \frac{\partial C}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial b} = (a-y)  \\

所以参数更新公式为:

w = w - \eta \frac{\partial C}{\partial w} = w - \eta (a-y)x\\ b = b - \eta \frac{\partial C}{\partial b} = b - \eta (a-y) \\

可以看到参数更新公式中没有 \sigma'(x) 这一项,权重的更新受 (a-y) 影响,受到误差的影响,所以当误差大的时候,权重更新快;当误差小的时候,权重更新慢。这是一个很好的性质。

所以当使用sigmoid作为激活函数的时候,常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数

编辑于 04-11

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