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简单的交叉熵,你真的懂了吗?

简单的交叉熵,你真的懂了吗?

1. 引言

我们都知道损失函数有很多种:均方误差(MSE)、SVM的合页损失(hinge loss)、交叉熵(cross entropy)。这几天看论文的时候产生了疑问:为啥损失函数很多用的都是交叉熵(cross entropy)?其背后深层的含义是什么?如果换做均方误差(MSE)会怎么样?下面我们一步步来揭开交叉熵的神秘面纱。

2. 交叉熵的来源

2.1 信息量

一条信息的信息量大小和它的不确定性有很大的关系。一句话如果需要很多外部信息才能确定,我们就称这句话的信息量比较大。比如你听到“云南西双版纳下雪了”,那你需要去看天气预报、问当地人等等查证(因为云南西双版纳从没下过雪)。相反,如果和你说“人一天要吃三顿饭”,那这条信息的信息量就很小,因为条信息的确定性很高。

那我们就能将事件x_0的信息量定义如下(其中p(x_0)表示事件x_0发生的概率):

概率总是一个0-1之间的值,-log(x)的图像如上

2.2 熵

信息量是对于单个事件来说的,但是实际情况一件事有很多种发生的可能,比如掷骰子有可能出现6种情况,明天的天气可能晴、多云或者下雨等等。熵是表示随机变量不确定的度量,是对所有可能发生的事件产生的信息量的期望。公式如下:

n表示事件可能发生的情况总数

其中一种比较特殊的情况就是掷硬币,只有正、反两种情况,该种情况(二项分布或者0-1分布)熵的计算可以简化如下:

p(x)代表掷正面的概率,1-p(x)则表示掷反面的概率(反之亦然)

2.3 相对熵

相对熵又称KL散度,用于衡量对于同一个随机变量x的两个分布p(x)和q(x)之间的差异。在机器学习中,p(x)常用于描述样本的真实分布,例如[1,0,0,0]表示样本属于第一类,而q(x)则常常用于表示预测的分布,例如[0.7,0.1,0.1,0.1]。显然使用q(x)来描述样本不如p(x)准确,q(x)需要不断地学习来拟合准确的分布p(x)。

KL散度的公式如下:

n表示事件可能发生的情况总数

KL散度的值越小表示两个分布越接近。

2.4 交叉熵

我们将KL散度的公式进行变形,得到:

前半部分就是p(x)的熵,后半部分就是我们的交叉熵:

机器学习中,我们常常使用KL散度来评估predict和label之间的差别,但是由于KL散度的前半部分是一个常量,所以我们常常将后半部分的交叉熵作为损失函数,其实二者是一样的。

3. 交叉熵作为loss函数的直觉

在回归问题中,我们常常使用均方误差(MSE)作为损失函数,其公式如下:

m表示样本个数,loss表示的是m个样本的均值

其实这里也比较好理解,因为回归问题要求拟合实际的值,通过MSE衡量预测值和实际值之间的误差,可以通过梯度下降的方法来优化。而不像分类问题,需要一系列的激活函数(sigmoid、softmax)来将预测值映射到0-1之间,这时候再使用MSE的时候就要好好掂量一下了,为啥这么说,请继续看:

sigmoid加MES的基本公式
gradient推导过程

上面复杂的推导过程,其实结论就是下面一张图:

C就是👆的J,sigma就是sigmoid函数,a就是predict

从以上公式可以看出,w和b的梯度跟激活函数的梯度成正比,激活函数的梯度越大,w和b的大小调整得越快,训练收敛得就越快。而我们都知道sigmoid函数长这样:

图片来自:https://blog.csdn.net/u014313009/article/details/51043064

在上图的绿色部分,初始值是0.98,红色部分初始值是0.82,假如真实值是0。直观来看那么0.82下降的速度明显高于0.98,但是明明0.98的误差更大,这就导致了神经网络不能像人一样,误差越大,学习的越快。

但是如果我们把MSE换成交叉熵会怎么样呢?

x表示样本,n表示样本的总数

重新计算梯度:

推导过程

另外sigmoid有一个很好的性质:

我们从结果可以看出梯度中不再含有sigmoid的导数,有的是sigmoid的值和实际值之间的差,也就满足了我们之前所说的错误越大,下降的越快。

这也就是在分类问题中常用cross entropy 而不是 MSE的原因了。

发布于 2019-04-10

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