算法与数据结构基础 - 合并查找(Union Find)
Union Find算法基础
Union Find算法用于处理集合的合并和查询问题，其定义了两个用于并查集的操作：
- Find: 确定元素属于哪一个子集，或判断两个元素是否属于同一子集
- Union: 将两个子集合并为一个子集
并查集是一种树形的数据结构，其可用数组或unordered_map表示：
Find操作即查找元素的root，当两元素root相同时判定他们属于同一个子集；Union操作即通过修改元素的root(或修改parent)合并子集，下面两个图展示了id[6]由6修改为9的变化：
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Union Find算法应用
Union Find可用于解决集合相关问题，如判断某元素是否属于集合、两个元素是否属同一集合、求解集合个数等，算法框架如下：
//261. Graph Valid Tree
bool validTree(int n, vector<pair<int, int>>& edges) {
vector<int> num(n,-1);
for(auto edge:edges){
//find查看两点是否已在同一集合
int x=find(num,edge.first);
int y=find(num,edge.second);
if(x==y) return false; //两点已在同一集合情况下则出现环
//union让两点加入同一集合
num[x]=y;
}
return n-1==edges.size();
}
int find(vector<int>&num,int i){
if(num[i]==-1) return i;
return find(num,num[i]); //id[id[...id[i]...]]
}
一些情况下为清晰和解偶会将Uinon Find实现为一个类，独立出明显的Union和Find两个操作。
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947. Most Stones Removed with Same Row or Column 题解
算法优化
有两种常用的方法用来降低并查集树形结构的高度、以减少Uinon Find算法的时间复杂度，这两种方法是：
Weighting(或称作Ranking): 使用多一个数组记录每个集合的size，Uinon时将size小的集合挂到size大的集合下，例如：
对3、5 Uinon，因3所在集合元素size 4大于5所在集合元素size 2，将6挂到9下而不是将9挂到6下。
Path compression: 对一个集合下的元素直接挂到root之下，而不是挂到其parent，path compression实现很简单只需在Find中加一行代码：
string find(unordered_map<string,string>& root,string s){
if(root[s]!=s)
root[s]=find(root,root[s]); //挂到根节点下
return root[s];
}
加入path compression也能实现减少并查集树高度的效果，图示如下：
Weighting和Path compression两种方法可以同时使用，这样使得对N个元素进行M次Union Find操作的时间复杂度可以减少到 (M+N)lgN。因lgN随N的增长变化很小，所以整体算法时间复杂度接近于线性的时间复杂度。
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