数学形态学操作

程序员阿德

Dilation
Erosion
Opening
Closing
形态学梯度
顶帽
黑帽
Hit-and-Miss 转换
Pattern Spectrum

数学形态学（Morphology）中也有类似于卷积中的kernel一样的矩阵，叫做Structuring element（结构元素，下文均称为SE）。

在图像处理方面，形态学分为二值形态学和灰度形态学，经常应用到对图像进行分割，细化，抽取骨架，边缘提取，形状分析，角点检测，分水岭算法等等。

在卷积的kernel中，默认原点是在kernel的中心位置，在SE中原点不一定在中心位置，需要自己定义原点，所以数学形态学的操作是具有方向性的。

默认图像中的前景（目标）为白色，背景为黑色。

1、Dilation

1.1、binary dilation

二值膨胀就是对一个二值图进行膨胀操作。对一个二值图像进行膨胀操作需要一个SE核，SE核由一个二值矩阵组成，还需要定义一个原点，表示核的核心。

遍历原图像的每一个像素点，将其与SE核的原点对齐，然后取当前SE中所有1的位置所覆盖下原图中对应的像素中的最大值，用这个最大值替换当前像素值。由于二值图像最大值就是1，所以就是用1替换原点。

只有SE位于前景物体（像素值为1）边缘时，它覆盖的区域内才会同时出现0和1两种不同的像素值，这时把当前像素替换成1。因此膨胀看起来的效果就是让前景物体膨胀了一圈，使得边界向外扩散。对于前景物体中一些细小的断裂处，这些断裂的地方可能会被连接起来。

膨胀操作使前景边界向外扩张，会增大前景区域。可能会连接不同白色区域，也可以用来填补前景中的空洞，去除黑色噪点。

比如下面这个图像和SE进行膨胀操作（左下角的绿色1为原点）。将图像根据SE中的每个非零元素进行平移，每个元素都会得到一个像素集合，然后把这几个集合求并集得到最终的结果。如下图所示：

因为绿色1为原点，所以对原图像没做任何操作，蓝色1表示将图像向右平移一位，黄色1表示将图像向右上方平移一位，将这三个集合取并集就得到最后的结果。

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \oplus \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

下面是一个比较复杂的例子：

1.2、gray dilation

比如表示灰度图像的信号如下左图表示（灰度值曲线），

2、Erosion

遍历原图像的每一个像素点，将其与SE核的原点对齐，然后取当前SE中所有1的位置所覆盖下原图中对应的像素中的最小值，用这个最小值替换当前像素值。二值图像最小值就是0，所以就是用0替换原点。

只有SE位于前景物体（像素值为1）边缘的时候，它覆盖的区域内才会同时出现0和1两种不同的像素值，这个时候把当前像素替换成0。因此腐蚀看起来的效果就是让前景物体缩小了一圈，使得边界向内收缩。对于前景物体中一些细小的连接处，这些连接处可能会断开。

腐蚀操作会减小白色区域，去除白色噪点，断开白色细线连接，使前景区域向内收缩。

比如下面这个图像和SE进行腐蚀操作（左下角的绿色1为原点）。因为绿色1为原点，所以对原图像没做任何操作，蓝色1表示将图像向左平移一位，黄色1表示将图像向左下方平移一位，将这三个集合取交集就得到最后的结果。

注意：在腐蚀中平移的方向和膨胀时相反，而且最后是取交集。

最后的结果为：

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \ominus \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

就是说当把SE放到图像中时，SE中的1在图像中也必须全部对应为1，则原点处的值置为1，否则置为0。

下面是一个比较复杂的例子：