多元微积分——环量、旋度与格林、斯托克斯公式,通量、散度与高斯公式

多元微积分——环量、旋度与格林、斯托克斯公式,通量、散度与高斯公式

学习阶段:大学数学。

前置知识:多元微积分、曲线积分、曲面积分。

tetradecane:曲线、曲面积分的几何、物理意义,及一二型的联系zhuanlan.zhihu.com图标


1. 向量场

二维向量场中,平面上每个点 (x,y) 都有一个以该点为起点的向量 \vec v(x,y) ,其大小和方向与这个点有关。向量场的直观图像,可以参考本文的题图。

对向量进行正交分解,即可得到 \vec{v}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j} .

三维向量场和二维向量场类似,有 \vec{v}(x,y,z)=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k} .

物理中的力场、电场、磁场、流量场等,都可以用向量场来描述。

2. 环量、旋度与格林、斯托克斯公式

2.1 环量

现在给定一个二维力场 \vec{F}=\vec{v}(x,y)=P\vec{i}+Q\vec{j} ,一个单位质量的质点在其中沿某条曲线 L 运动,如何求该力场中的力做的总功呢?

曲线微元

如上图所示,在某一点 (x,y) 附近,路径切线为 \vec{t} ,令 |\vec{t}|=1 ,则做功的微元 dW=\vec{F}\cdot\vec{t}ds=\vec{F}\cdot d\vec{r} ,总功使用一型曲线积分以计算: W=\int_L\vec{F} \cdot d\vec{r} . 当然,也可以使用二型曲线积分: W=\int_LPdx+Qdy .


当曲线 L 闭合的时候,会有一些不错的性质。闭合曲线会围成一个区域 D ,记其边界为 \partial D .

边界的方向

注意,区域 D 的边界路径可以有两个方向,这两个方向做的功显然互为相反数。习惯上记区域 D 在路径方向的左侧时,路径为正方向,记为 \partial D^+ .

曲线积分 \Gamma=\oint_{\partial D^+} \vec{v}\cdot d\vec{r}=\oint_{\partial D^+}Pdx+Qdy 称为区域 D环量

【希腊字母 \Gamma\gamma 的大写,读作“gamma伽玛”。】

空间中曲面边界的正方向

三维环量类似定义。三维空间中的曲面 \Sigma 是有向的,它的边界的正方向用右手定则规定:右手四指围绕路径方向,右手大拇指与 \Sigma 正侧同向时,路径为正方向。

2.2 环量密度

当区域 D 逐渐缩小,最终趋近于一个点的时候,它的环量是多少呢?

如下图所示,以一个点 (x,y) 为中心,构建一个边长为 2a2b 的很小的矩形区域,研究一下这个区域的环量。令 a\rightarrow0b\rightarrow0 .

包含一个点的很小的区域的环量

每条边的功都可以求出来。假设在这个小区域内的力是线性均匀变化的,那么下边的力 P 平均一下,就是其中点的力 P(x,y-b) ,移动距离为 2a ,那么做功就是图中的 W_1 . 其余以此类推。

【你可能会问:为什么力要用平均值 P(x,y-b) ,而不用端点值 P(x\pm a,y-b)

这是个好问题,但是具体分析比较复杂,我只粗略地解释一下:使用线性平均值,比起直接使用端点值,效果不会更差;试着用端点值算一下会发现反而更不好算。】

环量即进行求和: W=W_1+W_2+W_3+W_4 .

注意到 P(x,y-b)-P(x,y+b)=-\frac{\partial P}{\partial y}2b ,因此:

W=(W_1+W_3)+(W_2+W_4)

=-\frac{\partial P}{\partial y}2b2a+\frac{\partial Q}{\partial x}2a2b=(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})4ab

这就是点 (x,y) 附近的环量,是一个无穷小值。我们把这个环量除以该区域的面积 4ab ,得到的值 \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} 称为环量面密度

2.3 旋度

对于一个空间中的点,考虑平行于三个坐标平面的环量面密度:

空间中点的三个基本方向的环量

路径正方向用右手定则确定:右手四指围绕路径方向,右手大拇指与坐标轴同向时,路径为正方向。

定义向量 \vec{v}=(x,y,z) 终点的旋度

\text{rot}(\vec{v})\text{curl}(\vec{v})=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\vec{j}+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\vec{k}

旋度用算符表示为 \nabla\times\vec{v}= \left|\begin{matrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R\\ \end{matrix}\right| .

旋度描述了向量场在该点附近造成旋转的程度。旋度是矢量

举个例子,把向量场视为力场,在某一点放置一足够小的小球,小球可以绕其球心旋转,则小球的旋转情况由这一点的旋度决定。

2.4 格林公式与斯托克斯公式

先考虑二维的情况。

切割区域,切割环量

上图左表示,任何一个区域,都可以切割成小方块。上图右表示,两个小方块的环量之和,等于拼起来的大方块的环量,因为虚线的两个箭头抵消了。这启发我们用新的方法来计算环量!

只要方块切割得足够小,就可以用环量密度乘上微元面积来表示其环量,即 (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma . 要求整个区域 D 的环量,那自然是把所有微元的环量求和,即对上式求二重积分咯,这样格林公式就呼之欲出了!

Green格林公式

\oint_{\partial D^+}Pdx+Qdy=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy


二维推广到三维,把曲面切割成微元,每个微元投影到三个坐标平面上,再用同样的思想,即可用曲面积分计算三维环量!这就是斯托克斯公式!

Stokes斯托克斯公式

\oint_{\partial\Sigma^+}Pdx+Qdy+Rdz

=\iint_\Sigma (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy

简记为 \oint_{\partial\Sigma^+}\vec{v}\cdot d\vec{r}=\iint_\Sigma \nabla\times\vec{v} \cdot d\vec{S}

显然,斯托克斯公式是格林公式的推广,把斯托克斯公式投影到 x0y 平面上就变成了格林公式。

3. 通量、散度与高斯公式

3.1 通量

前面环量研究的是闭曲线积分,现在通量研究的是闭曲面积分。

曲面微元

设在点 (x,y,z) 处的液体流量面密度为 \vec{v} ,曲面该处的法向量为 \vec{n} ,微元面积为 dS ,则该微元的液体流量为 \vec{v}\cdot\vec{n}dS=\vec{v}\cdot d\vec{S} . 整个曲面的液体流量就是曲面积分 \Phi=\iint_\Sigma\vec{v}\cdot d\vec{S} ,这就是通量

【希腊字母 \Phi\varphi 的大写,读作“fai弗爱”。】

3.2 散度

研究一下包含一个点的很小的闭曲面的通量。

包含一个点的很小的闭曲面的通量

将闭曲面近似为长方体,令 a,b,c\rightarrow0 ,则其沿 x 轴方向的通量为

[P(x+a,y,z)-P(x-a,y,z)]4bc=\frac{\partial P}{\partial x}2a4bc

因此,该闭曲面的整体的通量为 (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})8abc .

通量体密度被定义为 \vec{v}=(x,y,z)散度,记为

\text{div}(\vec{v})=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\nabla\cdot\vec{v}

散度描述了向量场在该点附近发散的程度。散度是标量

【散度的“散”字读作sàn,表示发散的含义。】

举个例子,把向量场视为水流量场,从某一点流出或流入的水流量,由这一点的散度决定。散度为正,这一点为源点(相当于水龙头);散度为负,这一点为汇点(相当于下水道)。

3.3 高斯公式

同样使用切割的思想,把闭曲面包含的体切割成微元长方体,整个闭曲面的通量等于微元长方体的通量之和,求和使用三重积分。

Gauss高斯公式

\unicode{8751}_{\partial \Omega^+} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV

简记为 \unicode{8751}_{\partial\Omega^+}\vec{v}\cdot d\vec{S}=\iiint_\Omega \nabla\cdot\vec{v}dV

其中 \partial\Omega^+ 的方向为 \Omega 向外。

【希腊字母 \Omega 读作“omega欧米伽”,这里表示空间中某一区域。】

4. 算符总结

算符/算子:把函数映射为函数,即函数的函数。

4.1 nabla/哈密顿/梯度算符

把数量场映射为向量场。

\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial}{\partial z}\vec{k}=(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})

4.2 旋度算符

把向量场映射为向量场。

\nabla\times\vec{v}=  \left|\begin{matrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R\\ \end{matrix}\right|

4.3 散度算符

把向量场映射为数量场。

\nabla\cdot\vec{v}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}

4.4 laplace/拉普拉斯/调和算符

把数量场映射为数量场。梯度的散度。

\Delta=\nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}

4.5 恒等式及特殊场

\nabla\times(\nabla z)\equiv0 ,即梯度场的旋度为零,梯度场是无旋场/保守场/有势场,如重力场、静电场。

\nabla\cdot(\nabla\times\vec{v})\equiv0 ,即旋度场的散度为零,旋度场是无散场/无源场/管形场,如磁场、涡旋电场。

同时无散且无旋的向量场被称为调和场

附录

推荐视频:

散度与旋度:麦克斯韦方程组、流体等所用到的语言www.bilibili.com

视频进度14:10非常精彩地解释了散度与点积、旋度与叉积的直观关系。

编辑于 09-08