一种方法计算所有的函数极限?|大学-高数篇1

一种方法计算所有的函数极限?|大学-高数篇1

“博士,你帮我看看这个函数极限。”, 弘毅问我。

“题目呢?”

求解\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x}

“我怎么看都觉得自己没错啊,为什么不是1啊?用那个 e 的极限定义嘛?这个你要是能解释清楚,我中午请你吃大餐!”

我瞄了一眼,然后跟他解析一番。


你的想法没错,但问题是你得到的是 \infty/\infty , 最终就无法得到答案。 \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x}=\frac{\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x}=\frac{+\infty}{+\infty}
这里用到的是极限运算与除法运算的可交换性。
陷入\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty},  \infty\pm \infty 这样的不确定困境中。


我给你总结一下,半小时内让你解决所有函数极限的计算问题。

高数中遇到的所有的函数极限计算问题最终都化归为两种情况:

1. 直接代入

它的本质是利用了连续函数之函数求值与极限运算的可交换性。即, 若函数 f 在点 x_0处连续,则\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(\lim_{x\rightarrow x_0}x)=f(x_0) ,左边是先算函数值再求极限=右边先算极限再求函数值。

另外再结合极限运算与四则运算的可交换性

总之核心精神就是代入。

比如,求 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\sin x+2x^2+2}{x^2+1}

你可以用整个函数是连续的,直接得到 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\sin x+2x^2+2}{x^2+1}=\frac{0\sin 0+0+2}{0^2+1}=2 ,

也可以用极限运算与四则运算的可交换性,

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\sin x+2x^2+2}{x^2+1}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(x\sin x+2x^2+2)}{\lim_{x\rightarrow 0}(x^2+1)}=\frac{0\sin 0+0+2}{0^2+1}=2 .

但这里你不能乱用,比如,

\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x}=\frac{\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x}{\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x}=1 .

你这么干,相当于是,

\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x})^{x^2}=e^x . 即整个函数里面的x, 你随便取一部分x代入,而剩下的就不代入,这样做是没有依据的。

而我上面说的直接代入是有依据的,经过了证明的,即

连续函数的函数求值运算与极限运算的交换性,四则运算与极限运算的交换性

到目前为止,你能用的直接代入主要就是指这个


2. 洛必达法则

在你直接代入发生困难时,你想想你一般会遇到什么问题。

首先,函数主体肯定是连续的,即使不是连续的也依然是分段连续的,因为高数中遇到的计算问题,几乎所有都是初等函数。而初等函数这一大类都是连续函数(并且是足够光滑的函数)。

因此可想而知,当你代入发生困难时,那就是出现了 \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty},  \infty\pm \infty 等情况

因为出现了这样的情况,你无法进一步计算啊,鬼知道\frac{0}{0} 是多少啊,它可以是任意实数。

而这些情况最终都可化归为 \frac{0}{0} 的情形。

洛必达法则 若函数 f,g 在点 x_0的邻域内可导,且 \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0 以及 \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}. 存在,则 \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}.

粗略地讲,就是遇到 \frac{0}{0} 的不确定情形时,将原极限转化为一个新的极限,即分子分母同时分别求导后的新极限。

所以你的这个极限,正解就是结合指数函数的连续性和洛必达法则。直接用四则运算与极限运算的交换性是没错,可是你马上就进入 \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty},  \infty\pm \infty 这样的不确定困境之中。

这里举两个例子,比如高数中所谓的最重要的两个极限。 (它们都是代入后遇到 \frac{0}{0} 的困境,求助于洛必达)

1. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{1}=1.

2. \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}
=e^{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}=e^{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+x}}=e.

以上这两个式子不能作为他们的证明,因为中间有循环论证的问题,即相应导数的求解用到了这两个重要极限

但是不妨碍你用他们来计算极限。


综上所述,高数中所有的函数极限运算问题都是先尝试直接代入,代入遇到困难就求助洛必达,多次洛必达之后直到能够代入,那就代入结束。

所以这道题,应该是这样的:

\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{{x^2}\ln(1+\frac{1}{x})}}{e^x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{{x^2}\ln(1+\frac{1}{x})-x} 再转化为指数的极限。
\lim_{x\rightarrow +\infty}{{x^2}\ln(1+\frac{1}{x})-x}=\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{\frac{1}{1+x}-1}{2x}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{-2(1+x)}=-\frac{1}{2}
即原极限是 e^{-\frac{1}{2}} .

现在挑战一下:

\lim_{x\rightarrow 0^+}x^{\sin x}


易经的角度,你可以把直接代入看成阳(+),因为要求得极限结果必然要靠代入,自强刚健;而把洛必达法则的应用看成阴(-),因为它退步迂回,海阔天空

那么任何一个函数极限的计算过程都可拆成阴阳交替的一个序列。

比如--+-+,就是指两次洛必达后一次直接代入再一次洛必达再代入就结束了。
为啥第一个代入后面还有计算过程呢?代入不是就结束了吗?
因为,这里是指一般的情况。如果函数本身很复杂,函数极限的计算需要先拆分成几个简单函数的极限计算,上述序列中的一个+就代表了一个简单函数极限计算的结束。

“怎么样?弘毅,是不是感觉除了智商有所长进外,还有一种哲学的美感?”,我一边比划一边说道,

“关于洛必达法则还有一个八卦:

洛必达L'Hôpital侯爵,1661-1704年,是法国世袭军官。这个求导方法是其数学导师约翰.伯努利发现的,传言因为这个方法能大大简化极限以及微分的运算,洛必达花钱买断了其著作权。这就是为什么大家听到的是洛必达法则,而不是伯努利法则了。”

“说好的大餐呢?”

弘毅感觉消化得很不错之后,由衷的说,

“数学系博士果然都这么的禅(馋)!”

“哈哈哈哈”,我们会心相视一笑,出门走向对面的美食广场!


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编辑于 2019-09-04

文章被以下专栏收录

    从小学到大学甚至工作中的数学学习中的精准痛点,总有一个是你曾经,现在或者将来的困惑! 看完本专栏,你一定会拨云见日,豁然开朗,海阔天空!