电磁学(1)——静电场高斯定理

电磁学(1)——静电场高斯定理

学习阶段:大学物理。

前置知识:基本物理常识、力学、多元微积分。

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1. 电荷

电荷(hè音同“贺”,负荷之意),一种物理性质,表示物质带电的情况。

电荷有两种电性:正电与负电。由于历史原因,人们规定“用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电”,然后发现电性只有两种,那么所有电荷都能确定正负了。例如,原子核带正电,电子带负电。人们发现,同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引。

电荷的量称为电量(符号Q, quantity),单位为库(伦)(符号C, Coulomb)。电量单位的定义式为 Q=It ,即1A的电流在1s内流过的电量称为1C, \text{C}=\text{A}\cdot\text{s} . 其中负电荷记为负数。

电荷守恒定律:对于一个孤立系统,不论发生什么变化,其中所有电荷的代数和永远保持不变。

2. 库仑定律

1785年,库伦通过实验得到库仑定律:对于真空中两个静止点电荷的相互作用电场力(称为库仑力),力的方向沿着它们的连线;同号电荷相斥,异号电荷相吸;力的大小与它们电量的乘积成正比,与它们距离的平方成反比。

库伦力的大小可用公式表示为 F=k\frac{q_1q_2}{r^2} ,其中 k 是静电力常量,大小 k=8.987551\times10^9\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2 .

库仑定律

这里的 k ,我们之后会用静电场高斯定理来研究。

3. 静电场

:物理学术语,指某种空间区域,其中具有一定性质的物体能对与之不相接触的类似物体施加一种力。如引力场、电场、磁场等。

电荷周围存在电场。电荷和电荷之间有力的作用,这个作用就是依靠电场来传递的。仅由(相对于观察者)静止的电荷产生的电场,称为静电场

为了具体地度量电场,引入一个试验电荷。试验电荷必须有三个性质:

  1. 正电荷:统一电性。
  2. 点电荷:测量一点的电场。
  3. 电量足够小:不至于影响原电场。

把试验电荷放在电场中,它会受到一个力的作用,称为电场力。实验证明,电场力的大小 F 与试验电荷的电量 q 成正比,定义电场强度(简称场强\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q} ,它是矢量,方向和正电荷受到的电场力方向相同,单位为 \text{N}/\text{C}\text{V}/\text{m} . 电场强度遵循矢量叠加规则。

试验电荷与电场强度

在外加电场为 \vec{E} 的地方放置一电量为 Q 的点电荷,则它受到外加电场的电场力 \vec{F}=\vec{E}Q .

在三维空间中,对于一个确定的电场,每一点都对应一个电场强度矢量,可记为函数 \vec{E}(x,y,z) ,这是一个向量场,可以用多元微积分中的场论来研究它。

4. 电场线

高中物理提到,可以用电场线来大致描述场强的大小和方向。电场线是一束有向曲线,其疏密表示场强大小(电场线越密则场强越大),其切线方向表示场强方向。

部分情况的电场线示例

静电场的电场线有这些特征:

  • 电场线起始于正电荷或无穷远,终止于负电荷或无穷远,没有电荷处不中断。
  • 两条电场线不会有交点。
  • 电场线不会形成闭合回路。

电场线还有个更隐蔽的特征:在空间中画出一个闭曲面,考虑穿入与穿出这个闭曲面的电场线条数。①如果这个闭曲面内整体呈电中性,则穿入的条数=穿出的条数;②如果闭曲面内整体呈正电,则穿入的条数<穿出的条数;③如果闭曲面内整体呈负电,则穿入的条数>穿出的条数。如下图所示,红色圈表示情况①,蓝色圈表示情况②。(这个性质是静电场高斯定理的雏形)

闭曲面情况

电场线虽然很直观,但是它不够精确。空间中每一点都存在电场,但显然你不可能画出穿过每一点的电场线。另外,用疏密来表示场强的大小也太模糊了。我们需要借助公式来精确表达以上这些特征。

5. 电通量

我们要定义一下电场线的疏密,如下图所示:

定义电场线的疏密

对于某一点,构造一个经过该点且垂直于该点场强的微小平面,设其面积为 dS_\bot ,设经过该平面的电场线条数为 dN ,则 \frac{dN}{dS_\bot} 即可表示该点的电场线疏密,可以指定 E=k\frac{dN}{dS_\bot} . 这里的 k 是一个常数,其值越小,则电场线图像越细密。


现在,我们考虑电场线穿过任意曲面的条数。已知曲面 \Sigma ,电场向量场 \vec{E}(x,y,z) 和电场线疏密与场强大小的关系式 E=k\frac{dN}{dS_\bot} ,如何求得通过 \Sigma 的电场线条数呢?

有时,电场线会从不同方向穿过这个曲面,不能混为一谈,如下图所示:

电场线的穿入与穿出

一个曲面有两个侧面,先指定其中一侧为正侧。如果电场线从正侧穿出,则记为+号,增加条数;如果电场线从正侧穿入,则记为-号,减少条数。本例中该蓝色曲面的电场线计数为0. 对于闭曲面而言,一般取其外侧为正侧。

接下来用到积分思想:把曲面 \Sigma 切成密密麻麻的微小曲面,取极限时,可近似为微小平面,设其面积为 dS . 并且, dS 有着代表其方向的法向量 \vec{n} ,我们记 \vec{n}dS=d\vec{S} . 如下图所示:

Σ切成dS

d\vec{S} 分解为 d\vec{S}_\bot+d\vec{S}_\parallel ,这里的 d\vec{S}_\parallel 与电场线疏密无关,因为它平行于蓝点的电场方向。根据向量点积的性质,有 \vec{E}\cdot d\vec{S}=EdS_\bot . 我们让 \vec{n} 的朝向和曲面正侧的方向一致,这样电场线计数时的正负情况也被点积所涵盖。注意到

E=k\frac{dN}{dS_\bot}

\vec{E}\cdot d\vec{S}=EdS_\bot=kdN

\iint_\Sigma \vec{E}\cdot d\vec{S}=k\iint_\Sigma dN=kN

也就是说积分后的 \Phi_e=\iint_\Sigma \vec{E}\cdot d\vec{S} 表示通过曲面 \Sigma 电场线计数的常数倍。常数是无所谓的,因此这个 \Phi_e 很重要,称为电通量。这个通量的定义和多元微积分中通量的定义是一致的,见如下链接中的章节3.1通量

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高中时如果学过磁通量,那正是通量的简单应用。对于匀强电场和平面,有下图的结论:

匀强电场穿过平面的电通量

这与任意电场和曲面中电通量的定义是相容的。

6. 静电场高斯定理

有了电通量,我们就可以严格地描述电场的性质了。

可以证明:真空中,一个闭曲面的电通量,只与其内部包含的电荷量有关,而且与其成正比。这就是静电场高斯定理,用公式表达为

\Phi_e=\unicode{8751}_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{\sum Q}{\varepsilon_0}

其中 S 是该闭曲面,称为高斯面\sum QS 内的电荷量总和; \varepsilon_0 是个物理常量,称为真空介电常数/真空电容率,其值为 \varepsilon_0=8. 854187817\times10^{-12}\text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2) .

静电场高斯定理的微分形式为 \nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0} ,其中 \nabla\cdot 是散度算符, \rho 是电荷体密度。

【希腊字母 \varepsilon 读作“epsilon埃普西隆”。】

7. 静电场高斯定理的应用

利用静电场高斯定理和对称性可以快速得到很多优美的结论。以下举几个例子。

7.1 球形对称带电体

球形对称电荷

设电量 Q 球形对称地分布在一个带电体上。画一个更大的球面作为高斯面,根据对称性,高斯面上的场强应该处处相等且垂直于高斯面,处处都有 \vec{E}\cdot d\vec{S}=EdS . 根据静电场高斯定理,有

\Phi_e=\unicode{8751}_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=E\unicode{8751}_SdS=ES=4\pi r^2E=\frac{Q}{\varepsilon_0}

E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

即求出了距离球心 r 处的场强大小。

考虑将该球形物体收缩为点电荷,且带电量不变,上述推导没有任何变化。因此球形对称带电体,在体外的性质相当于点电荷。

如果在距离球心 r 处放另一电荷量为 q 的点电荷,则它受到的电场力大小为 F=Eq=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\times\frac{Qq}{r^2} ,又根据库仑定律 F=k\frac{Qq}{r^2} ,可得 k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} ,这就是静电力常量和真空介电常数的等量关系。实际上,静电场高斯定理和库伦定律可以互相推导,两者是等价的。

7.2 球壳对称带电体

球壳对称带电体

高斯面内电荷量为0,又因为对称,不可能某局部有正通量,某局部有负通量,因此球壳内部的电场恒为0.

7.3 无限大均匀带电平板

无限大均匀带电平板

设薄板上的电荷面密度为 \sigma ,即单位面积上带电 \sigma . 作一圆柱状的高斯面,根据对称性,圆柱侧面的电通量为0,且圆柱每个底面上的场强相等,两个底面的场强大小相等、方向相反。设圆柱底面面积为 S ,根据静电场高斯定理,有

\Phi_e=2ES=\frac{Q}{\varepsilon_0}=\frac{\sigma S}{\varepsilon_0}

E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}

因为圆柱体可以任意伸缩,而上述推导过程不变,因此无限大均匀带电平板在两侧产生的电场都是匀强电场,大小为 \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} ,方向垂直于平板。


总结

电量 Q=It ,单位为 \text{C} .

电荷守恒定律:孤立系统的电荷量总和不变。

库仑定律 F=k\frac{q_1q_2}{r^2} ,其中 k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}k 是静电力常量, \varepsilon_0 是真空介电常数/真空电容率。同号电荷相斥,异号电荷相吸。

电场强度 \vec{E}=\frac{\vec{F}}{q} ,单位为 \text{N}/\text{C}\text{V}/\text{m} ,遵循矢量叠加。电场是向量场。

电场线方向表示电场强度方向,电场线疏密表示电场强度大小。

电通量 \Phi_e=\iint_\Sigma\vec{E}\cdot d\vec{S} ,单位为 \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C} .

静电场高斯定理:积分形式 \unicode{8751}_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{\sum Q}{\varepsilon_0} ,微分形式 \nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0} . 使用时注意利用对称性。

无限大均匀带电平板,电荷面密度为 \sigma ,则两侧均是匀强电场,场强大小为 \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} .

编辑于 09-08